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46a. Quelques notions mathématiques utiles en psychologie

Ce billet signale quelques notions (objets) mathématiques qui me semblent utiles (pour ne pas dire indispensables) si on veut aborder efficacement les problèmes tant théoriques que méthodologiques en psychologie dès la première année. L’objet le plus important est la relation binaire, qui est fabriquée avec les objets ensemble et élément. Les autres objets sont des propriétés de ces trois objets, ou des propriétés de ces propriétés. Pour compléter le tableau, il faut aussi mentionner les processus de dénombrement (voir 20a) et de l’implication logique (voir 38a). La présentation est volontairement non-systématique pour faciliter la saisie intuitive des notions.

1. Ensemble et éléments

Un ensemble est une collection d’éléments distincts qui possèdent une propriété commune. Un cas limite est l’ensemble vide.

Le cardinal d’un ensemble est le nombre de ses éléments (le cardinal est une propriété d’un ensemble).

2. Relation binaire

Une relation binaire est un ensemble de liens qui relient les éléments d’un ensemble de départ aux éléments d’un ensemble d’arrivée.

Le graphe d’une relation binaire est l’ensemble de tous les couples ainsi formés (liens de la relation).

3. Produit cartésien de plusieurs ensembles et m-uplets

Un ensemble peut être le produit cartésien de plusieurs ensembles (être un produit cartésien est une propriété d’un ensemble). On forme le produit cartésien de plusieurs ensembles en combinant tous les éléments du premier ensemble avec tous les éléments du second ensemble etc. (dénombrement).

Considérons une relation binaire de D dans A. Son graphe est un sous-ensemble de D × A, le produit cartésien de D et A.

Les éléments d’un produit cartésien sont des m-uplets, où m est le nombre d’ensembles qu’on combine (être un m-uplet est la propriété d’un élément).

4. Fonction ou application

Une fonction ou une application1 est une relation binaire telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule image (i.e., est relié à un et un seul élément dans l’ensemble d’arrivée). Être une fonction ou une application est une propriété d’une relation binaire.

Exemple : une variable statistique est une application de la population statistique dans l’ensemble des modalités de la variable.

5. Relation d’ordre

Une relation d’ordre est (la propriété d’)une relation binaire dont l’ensemble d’arrivée et l’ensemble de départ sont le même ensemble — on dit alors qu’une relation d’ordre est définie sur, ou encore ordonne un ensemble. On note xy la relation de x à y, où « ≤ » peut se lire « plus petit ou égal à ».

Une relation d’ordre a les propriétés de réflexivité, d’antisymétrie et de transitivité (voir l’article Relation d’ordre sur Wikipédia). En gros une relation d’ordre ≤ sur un ensemble établit que l’ordre des éléments x et y dans l’expression xy compte (a un sens).

Une relation d’ordre peut avoir la propriété d’ordre simple (ou total, complet, connecté), c’est-à-dire que deux éléments quelconques de l’ensemble ordonné sont ordonnés (par exemple, l’ensemble des nombres naturels est simplement ordonné).

Le produit cartésien formé par des ensembles simplement ordonnés est ordonné par la relation d’ordre dite « produit direct » qui permet de définir la comparabilité de deux m-uplets (voir 32a), mais il n’est pas simplement ordonné. On dira que cet ensemble est un ordre partiel au sens restrictif du terme (i.e., il existe au moins deux éléments incomparables, c’est-à-dire qui ne peuvent pas être ordonnés l’un à l’autre)2.

6. Fonction croissante

Une fonction F de D dans A est croissante si quels que soient x et x‘ de D, x < x‘ => F(x) ≤ F(x‘). Je soutiens que la mesurabilité de quantités dans un ensemble Q par des observations dans un ensemble O implique l’existence d’une fonction croissante de Q dans O (voir 3a).

  1. On néglige ici la différence entre fonction et application. []
  2. Tout ordre étant par définition un ordre partiel, dire qu’un ensemble est un ordre partiel pour dire qu’il est un ordre non-simple constitue un abus de langage qu’on corrige aisément en ajoutant « au sens restrictif du terme ». []

42a. Notations utiles pour conceptualiser précisément les données

Dès qu’on veut s’exprimer par écrit pour pouvoir discuter avec un groupe de personnes à propos d’une question particulière, on a besoin d’un langage commun. Lorsque la discussion se veut scientifique, les notations facilitent grandement l’échange d’idées suffisamment détaillées pour être testées contre d’autres idées. Ce billet introduit la plupart des notations utiles pour discuter d’épistémologie et de méthodologie en psychologie, en partant d’exemples concrets.

1. Notations pour parler d’un questionnaire psychologique

Considérons le questionnaire d’estime de soi reproduit ci-dessous (source). Ses dix items forment une collection. Chaque item possède un format de réponse : ses quatre réponses possibles forment une collection.

ech_rosenberg

La notion de collection est formalisée (mathématisée) par le terme « ensemble ». Le questionnaire d’estime de soi ci-dessus est un ensemble de 10 items (en négligeant la consigne commune à tous les items, qui ne fait pas partie de cet ensemble) ; le format de réponse d’un item quelconque du questionnaire est un ensemble de quatre réponses. On appelle éléments les objets qui constituent un ensemble.

Les éléments de l’ensemble des réponses possibles au premier item sont « Tout à fait en désaccord », « Plutôt en désaccord », « Plutôt en accord » et « Tout à fait en accord ». Pour indiquer le début et la fin de l’énumération, on utilise respectivement les symboles { et }. On a ainsi la notation

{Tout à fait en désaccord, Plutôt en désaccord, Plutôt en accord, Tout à fait en accord}.

On place les éléments les uns après les autres et on les sépare par une virgule suivie d’un espace. L’ensemble formé par les nombres 12,3 et 8,01 est noté {12,3 ; 8,01}.

Un ensemble est noté avec une lettre majuscule. On peut noter R l’ensemble des réponses possibles au premier item :

R = {Tout à fait en désaccord, Plutôt en désaccord, Plutôt en accord, Tout à fait en accord}.

L’expression ci-dessus est une phrase, donc on met un point à la fin ; elle se lit « R est égal à … ». On gagne en concision avec la notation R = {1, 2, 3, 4}, où les chiffres désignent chacun une réponse possible — notion d’échelle nominale, voir 40a.

Comment noter l’ensemble des items ? On pourra — soyons simples — utiliser I (i majuscule) pour « item ». Maintenant, on veut compléter la phrase I = {…}. On a besoin d’utiliser une notation pour représenter les 10 items, trop longs à recopier. Pourquoi ne pas utiliser 1, 2, etc. ? Mauvaise idée parce que les chiffres 1, 2, 3 et 4 désignent déjà des éléments de R. Alors pourquoi pas I1, I2, etc. ? C’est une possibilité. On aurait

I = {I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8, I9, I10}.

Comme il est fastidieux de lister chacun de ces 10 éléments ! Une notation elliptique va nous rendre service :

I = {I1, I2, …, I10}.

On indique, à l’aide des deux premiers éléments, comment on passe d’un élément au suivant (cf. les suites logiques des tests de logique, on passe de I1 à I2 en ajoutant 1 à l’indice de I) ; on n’a pas besoin de « I3, I4, I5, I6, I7, I8, I9 », qu’on remplace par les trois points ; et on a besoin de « I10 » pour terminer la série.

Une possibilité plus élégante consiste à réserver les lettres majuscules aux ensembles et à utiliser des lettres minuscules pour les éléments. On pourrait envisager I = {a, b, …, j} ou, un peu plus lourd mais plus explicite, I = {i1, i2, …, i10}. Les puristes préfèreront mettre les minuscules en italique et les indices en indice, d’où

I = {i1, i2, …, i10}

en acceptant de se battre un peu avec l’éditeur de texte mais c’est plus joli.

On veut maintenant une notation pour désigner l’ensemble des réponses à l’item i8, de telle manière qu’on sache bien que la réponse « Plutôt en accord » à cet item ne désigne pas le même événement psychologique (ou comportemental) que l’événement psychologique qui s’est produit lorsque la réponse « Plutôt en accord » a été donnée à l’item i2. On peut utiliser

R8 = {18, 28, 38, 48},

notation qui permet d’exprimer que 38 n’est pas égal à 32 (qu’on écrit 38 ≠ 32). On peut omettre d’indicer les chiffres qui codent les réponses par pure flemme, mais on s’expose à des confusions comme 38 = 32 parce que 3 = 3 ou encore « Plutôt en accord » (à l’item n° 8) = « Plutôt en accord » (à l’item n° 2). Sur-simplifier les notations est acceptable si cela n’entraîne pas de confusion conceptuelle ; dans cette perspective flemmarde et lucide, on écrira alors

R8 = {1, 2, 3, 4}.

On veut maintenant pouvoir parler de n’importe quel item de I. Pour cela, on peut se donner un indice j (en italique) et utiliser le procédé suivant : le jième item de I est l’item ij. Si on veut exprimer que ce qu’on dit d’un item particulier est valable pour tout item de I, comme par exemple, « cet item a quatre réponses possibles », on peut dire

pour tout j = 1, 2, …, 10, l’item ij a quatre réponses possibles.

Si on veut être encore plus concis on peut remplacer « pour tout » par le symbole «  » (qui se lit aussi « quel que soit »). Les puristes de la notation ne seront toutefois pas satisfaits de la syntaxe « j = 1, 2, …, 10 » et ils auront raison, parce que j ne peut pas être égal à la série 1, 2, …, 10. On peut tolérer cet abus de langage, toutefois facile à éviter. Comment améliorer la notation ? On peut écrire

j appartenant à {1, 2, …, 10},

qui interdit d’interpréter j comme une série parce que j ne peut que prendre successivement les valeurs 1, 2, , 10. Le symbole pour exprimer de manière concise l’appartenance à un ensemble est . On peut écrire

j ∈ {1, 2, …, 10}, ij a quatre réponses possibles.

Une notation concise pour exprimer le nombre que contient un ensemble E existe et elle va être utile ici. Ce nombre s’appelle un cardinal (mais si un nombre peut être un cardinal, un cardinal peut ne pas être un nombre parce que l’infini n’est pas un nombre et qu’il existe des ensembles contenant une infinité d’éléments, cf. section 4). On utilise la notation |E| — et non pas /E/ qui ne veut rien dire dans ce contexte et il faut prendre la peine de trouver comment faire le symbole « | » sur son clavier. Ainsi, les expressions |I| = 10 et |Rj| = 4 sont concises et précises dès lors qu’on sait à quoi elles réfèrent. En cas de doute, il faut expliciter.

Comment écrire en « concis et précis » l’idée, formulée de manière imprécise, que les items de ce questionnaire ont quatre réponses possibles ? En écrivant

j ∈ {1, 2, …, 10}, |Rj| = 4, avec Rj le format de réponse de l’item j.

Double indiçage. Maintenant, on veut pouvoir noter n’importe quelle réponse à n’importe quel item, comme par exemple la réponse « Plutôt en accord » à l’item « Je suis capable de faire les choses aussi bien que la majorité des gens ». Il suffit d’appliquer la procédure qui permet de repérer n’importe quelle case d’un damier, formé par l lignes et c colonnes, à l’aide du numéro de ligne et du numéro de colonne. Ici, le « damier » du questionnaire est formé par les  l = 10 lignes des items et les c = 4 colonnes des réponses à l’item. N’importe quelle case du « damier », c’est-à-dire n’importe quelle réponse élémentaire, correspond à l’intersection d’une ligne et d’une colonne et on peut la repérer par le double indice i.j, où i = 1, 2, …, 10 et j = 1, 2, 3, 4. La réponse dont on parle dans cet exemple peut être notée r4.3, où le double indice signifie que c’est la troisième réponse du format de réponse du quatrième item. L’ordre ligne-colonne (li-co) pour le double indiçage est une convention qui s’applique aussi aux tables de contingence.

Ordre. Lorsqu’on délimite les éléments d’un ensemble par des accolades, comme dans E = {a, b, c}, on ne précise pas si ces éléments sont ordonnés. La notation E = {b, c, a} est correcte. Pour indiquer expressément que les éléments d’un ensemble sont ordonnés (par défaut, dans l’ordre croissant), on les encadre avec des parenthèses. Si l’ordre alphabétique a un sens pour E et qu’on veut l’exprimer clairement, on peut écrire E = (a, b, c), qui devient alors un triplet (voir 20a).

Comme les réponses aux items du questionnaire constituent ce qu’on appelle une échelle de Likert, c’est-à-dire une échelle ordinale (cf. 40a), on peut noter cet ensemble par

Rj = (1, 2, 3, 4) avec j = 1, 2, …, 10,

bien que ce ne soit pas nécessaire. Cette notation est nécessaire lorsqu’on veut désigner une réponse particulière au questionnaire parce que l’ordre dans lequel on recopie les réponses indique l’ordre des items. Ainsi, le 10-upet (1, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 4) est noté avec des parenthèses. On sait grâce à cette notation que la réponse à l’item numéro 9 est la troisième réponse du format de réponse, c’est-à-dire « Plutôt en accord ».

Comme le questionnaire comporte des items positifs et des items négatifs, les chiffres contenus dans ce 10-uplet ne peuvent pas être additionnés pour calculer le score correspondant à cette réponse — il faut d’abord procéder à un recodage des réponses aux items négatifs. L’ensemble des scores possibles à ce questionnaire est bien entendu ordonné et on l’appelle une échelle de scores, qu’on notera pourtant

S = {10, 11, …, 40} (S pour score ou scale).

L’usage de considérer cette échelle comme une échelle ordinale au sens de Stevens (1946) n’est pas correct puisque cette échelle n’est pas une échelle nominale : en effet, selon Stevens, une échelle nominale suppose un isomorphisme (c’est-à-dire, ici, une bijection ou encore une correspondance bi-univoque) entre l’ensemble des objets auxquels on attribue un nombre et l’ensemble des nombres ainsi attribués.

Notons D = {(1, 1, …, 1), (1, 1, …, 2), …, (4, 4, …, 4)} l’ensemble de tous les 10-uplets possibles (D pour descriptions possibles de la réponse au questionnaire). On a |D| = 410 et |S| = (40 – 10) + 1 = 31, ce qui implique qu’il existe au moins un score qui décrit (ou, selon le langage de Stevens, mesure) plus d’un 10-uplet de réponses. Par exemple, le score 11 décrit 10 10-uplets différents qu’on obtient en déplaçant le nombre 2 dans (1, 1, …, 1, 2). Pas de correspondance bi-univoque entre D et S, donc S n’est pas une échelle nominale de D. Or une échelle ordinale est une échelle nominale dotée d’une relation d’ordre, héritée d’une relation d’ordre dans l’ensemble des objets ainsi « mesurés ». Si S ne constitue pas une échelle nominale pour D, elle ne peut constituer une échelle ordinale pour D ; l’ordre de S n’a pas de signification descriptive qu’on puisse référer aux propriétés nominales ou ordinales de D (cf. aussi Costa et McCrae, 2007).

2. Notations pour parler de « variables de questionnaires »

L’expression « variable de questionnaire » est utile pour attirer l’attention sur les deux termes ainsi concaténés mais elle est imprécise. Comme une variable statistique est, par définition, une application qui, à toute unité statistique de son ensemble de départ, associe une et une seule image dans son ensemble d’arrivée, une « variable de questionnaire » désigne une variable statistique dont l’ensemble d’arrivée est l’ensemble des réponses possibles au questionnaire, noté D, ou l’ensemble des scores possibles au questionnaire, noté S.

On note Ω la population statistique, ensemble de départ (ou de définition) d’une variable statistique. Les éléments de Ω, appelés unités statistiques, sont notés ω. On note les variables avec des majuscules. La notation

X : Ω → D

indique que la variable X est définie sur Ω et prend ses valeurs dans D. La notation

X(ω) = x

indique que l’image de ω par X est la valeur x de D. Dans le cas du questionnaire d’estime de soi utilisé comme exemple ici, x est un 10-uplet.

Lorsqu’on associe le concept de variable à un questionnaire, les unités statistiques correspondent à des personnes e (pour entité) qui répondent au questionnaire à un moment t et on a ω = (e, t). Dans ce cas, les unités statistiques sont des unités d’observation parce qu’il faut avoir fait passer le test à quelqu’un à un certain moment pour que sa réponse au test existe (soit un fait). Par conséquent, raisonner sur des variables de questionnaires définies sur des populations parentes de cardinal infini, i.e., qui servent de réservoirs à des échantillons d’unités d’observation, est une vue de l’esprit puisque les unités statistiques qui ne sont pas des unités d’observation n’ont pas d’image dans D.

Plusieurs échelles de scores. Il est courant en psychologie de faire passer plusieurs questionnaires à un échantillon de personnes. En négligeant le fait que les différents questionnaires ne peuvent être passés en même temps par une personne donnée et en considérant que les questionnaires ont été administrés à un moment t, les scores obtenus à chaque questionnaire par une personne e à t constituent un m-uplet de scores. Par exemple, une étude empirique qui serait fondée sur l’administration de 13 questionnaires à 60 personnes permet de construire la variable

X = (X1, X2, …, X13) : Ω60 → S = S1 x S2 x … x S13,

Xj : Ω60 → Sj, j = 1, 2, … 13, est la variable qui associe un score au questionnaire numéro j à toute unité d’observation de l’échantillon. La notation S1 x S2 x … x S13 désigne le produit cartésien des 13 échelles de scores associées aux 13 questionnaires. Ce produit cartésien est, par définition, l’ensemble de tous les 13-uplets de scores possibles.

La même batterie de questionnaires administrée plusieurs fois. Il est courant en psychologie qu’une même batterie de questionnaires (ou de tests psychotechniques) soit administrée plusieurs fois à un même échantillon de personnes. Considérons le cas le plus simple d’un test-retest (ou pré-test-post-test). Une unité d’observation a la forme ω = (e, t1, t2t1 et t2 désignent les moments du test et du retest, respectivement. On peut généraliser la notation avec ω = (e, t) t (en gras et pas en italique) désigne le m-uplet de moments (t1, t2, …, tm).

Comment noter une variable correspondant à un tel design ? Il y a plusieurs façons de faire et ce qui importe est que le système de notation soit explicite et efficace. On n’utilisera pas la notation (X1, X2, …, Xm),  déjà été utilisée ci-dessus pour un design strictement transversal (un seul moment par unité d’observation et plusieurs questionnaires indicés par des numéros). Une approche économique, mais peu courante en psychologie, consiste à définir la variable

Xj : Ω60 → Sj x Sj

qui, à toute unité d’observation de Ω60, associe un et un seul 2-uplet de scores obtenus avec le questionnaire numéro j, le premier score correspondant au test et le second score correspondant au retest. Il est plus courant qu’on veuille pouvoir parler de la « variable pré-test » et de la variable « post-test ». Dans ce cas, on peut définir le couple de variables (qui est une variable bivariée)

(Xj , Yj) : Ω60 → Sj x Sj

où X et Y servent à noter la variable pré-test et la variable post-test, respectivement. On a donc, dans le cas d’une batterie de 13 questionnaires administrés deux fois, 13 couples de variables à considérer, de telle sorte que chaque unité d’observation soit décrite par un 13-uplet de scores au pré-test et un 13-uplet de scores au post-test — ce qui donne un 2-uplet de 13-uplets. Il suffit de définir la variable

(X , Y) : Ω60 → S x S

X = (X1, X2, …, X13) : Ω60 → S = S1 x S2 x … x S13 et Y = (Y1, Y2, …, Y13) : Ω60 → S = S1 x S2 x … x S13 désignent les variables pré-test et post-test, respectivement. La variable (X, Y) associe à toute unité d’observation un et un seul 2-uplet de 13-uplets de scores.

3. Application à Camart et al. (2006)

L’avantage de ce type de notation est d’inciter à penser précis et la précision est ici associée à la lucidité scientifique (l’imprécision étant alors associée à un manque de lucidité scientifique). Par exemple, examinons le résumé de Camart et al. (2006) reproduit ci-dessous.

resume_camart-et-al-2006Que signifie précisément l’expression « une amélioration significative des patients sur l’ensemble des variables mesurées » ? Il s’agit d’amélioration et ce qui est l’objet d’amélioration est désigné par le terme « patients ». Ce terme désigne l’échantillon des 60 personnes souffrant de phobie sociale sélectionnées pour cette étude. Il s’agit donc de savoir ce que signifie l’amélioration d’un ensemble de personnes. Comme l’étude rapporte des analyses portant sur des 2-uplets de 13-uplets de scores obtenus par chacune de ces personnes en pré- et post-test, les auteurs n’ont sans doute pas la prétention de parler d’autre chose que des scores qui décrivent les personnes lors des pré- et post-tests. En effet, de telles descriptions ne disent pas grand chose de ces personnes (cf. Popper, 1945/2013 ; la lucidité scientifique consiste ici à ne pas perdre de vue que les données analysées par Camart et ses co-auteurs proviennent de réponses à des questionnaires). Ce ne sont pas des personnes qui sont améliorées mais des scores, lesquels, bien qu’ils soient qualifiés de « mesures » par les auteurs, ne mesurent pas de grandeur psychologique si on entend qu’un score est une mesure si sa variation dépend de manière croissante de la variation d’une quantité de grandeur (cf. mon cours de mesurage).

tableau_camart-et-al-2006

Lorsqu’on examine les résultats communiqués dans le Tableau 1 de l’article (ci-dessus), on constate que ce qui s’améliore, ce sont des moyennes des scores. Les auteurs considèrent l’ensemble {d1, d2, …, d13} des 13 différences de moyennes qui ont pu être calculées à partir des 13 questionnaires ou sous-questionnaires utilisés. Le fait que dj , j = 1, 2, …, 13, soit significative renvoie au cadre de référence habituel en statistique inférentielle, à savoir (i) la fiction d’un couple (Xj, Yj) de variables normales, défini sur une certaine population statistique, (ii) la convention selon laquelle les scores observés résultent d’un échantillonnage dans cette population statistique, (iii) le test de l’hypothèse nulle selon laquelle les deux variables Xj et Yj ont même moyenne.

Le point critique est que l’amélioration des moyennes n’implique logiquement pas l’amélioration de (la symptomatologie phobique sociale de) chaque personne de l’échantillon pour deux raisons indépendantes. La première tient au fait qu’un changement moyen n’implique pas un changement général. La seconde tient à ce que, même si, en un sens vague, la symptomatologie phobique sociale des patients s’est améliorée entre le pré- et le post-test, on ne voit pas comment l’ensemble des 13-uplets de scores possibles permet de décrire un état momentané de cette symptomatologie, autrement dit, comment cet ensemble de 13-uplets constituerait ne serait-ce qu’une échelle nominale pour « mesurer », au sens de Stevens (1946), la phobie sociale. Il faut d’abord que la phobie sociale ait été élaborée comme un ensemble d’objets ou d’événements, pour reprendre les termes de Stevens, pour qu’on puisse envisager d’attribuer des nombres ou des m-uplets de nombres à ces objets ou événements.

La substitution de termes, coutumière dans la plupart des études rapportant des tests statistiques fondés sur des scores, qui consiste à remplacer « les différences de moyennes d’un groupe de patients » par « les patients », constitue un jargon technique pour « aller vite ». Mais un étudiant débutant ou un lecteur profane peut s’y laisser tromper s’il n’interprète pas les propositions de manière précise. L’art de la notation peut aider, je l’espère, à éviter de grossières erreurs d’interprétation. Même si les 60 x 13 = 780 différences de scores étaient améliorées, il faudrait encore rester lucide sur le fait qu’il n’y pas de patient amélioré tout court parce que la notion de « patient amélioré » n’est pas définie. Un lecteur attentif et intéressé pourrait demander aux auteurs d’indiquer le nombre de différences de scores (di.j , i = 1, 2, …, 60 et j = 1, 2, …, 13), qui sont améliorées parmi les 780 différences qui ont pu être calculées, ainsi que le nombre de 13-uplets de scores qui se sont améliorés parmi les 60 2-uplets de scores qui ont pu être calculés (pour la notion de comparaison de m-uplets, voir 32a).

4. Notations pour les échelles analogiques

Pour compléter cette introduction à la notation, prenons l’exemple d’une échelle analogique de douleur (cf. 36a), dont le format de réponse est un segment continu. Un segment continu est un ensemble borné à gauche et à droite, qui contient une infinité d’éléments (de points). On utilise des crochets fermés ou ouverts  pour indiquer que les bornes appartiennent ou pas, respectivement, au segment.

Les bornes sont inclues dans le segment [0 cm, 10 cm]. Le segment ]4,9 cm ; 5,1 cm[ utilisé pour encadrer (mesure approchée) la marque d’une personne sur [0 cm, 10 cm] ne contient pas les bornes inférieure et supérieure.

Références

Camart, A., André, C., Trybou, V., & Bourdel, M.-C. (2006). Évaluation des effets à court terme d’une thérapie cognitivo-comportementale de groupe dans la phobie sociale : résultats auprès de soixante patients. L’Encéphale, 32, 1011-1018, cahier 1.
Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of mesurement. Science, 103, 677-680.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "42a. Notations utiles pour conceptualiser précisément les données", in Épistémologie de la psychologie, 18/12/2016, http://epistemo.hypotheses.org/3951.

40a. Les échelles de mesure : lire Stevens (1946)

S. S. Stevens publie en 1946 son célèbre article « On the theory of scales of measurement« , que Tafreshi, Slaney et Neufeld (2016, p. 6) qualifient de contribution majeure du 20e siècle dans le domaine de la mesure en psychologie, et qui présente la fameuse catégorisation d’échelles numériques dites « de mesure », à savoir les échelles « nominales », « ordinales », « d’intervalle » et « de ratio », catégorisation qui est enseignée dans tout cours de psychologie quantitative. Chaque type d’échelle de mesure possède des règles de légitimité concernant les calculs qu’on peut appliquer aux nombres dont elles sont formées. Ce billet en donne un commentaire critique du point de vue où mesurer, c’est utiliser l’hypothèse qu’il existe une fonction croissante, définie dans le segment [0, max] où « max » désigne la quantité la plus grande possible de la grandeur qu’on veut mesurer, à valeurs dans l’ensemble des observables qui sont utilisés comme des mesures de la grandeur (cf. 3a).

1. Aperçu de l’article

L’article (quatre pages) se compose d’une introduction, d’une section portant sur l’idée de classification d’échelles de mesure, de quatre sections respectivement consacrées à chaque type d’échelle et d’une conclusion.

L’introduction. Partant des travaux d’un comité de la British Association for the Advancement of Science, qui fût dédié à l’examen de la possibilité de mesurer les sensations, et retenant de son rapport final que la signification (meaning) du verbe « mesurer » reste discutable, l’introduction propose de « reconnaître que le mesurage [measurement] existe sous des formes variées et que les échelles de mesure [scales of measurement] tombent dans des classes bien définies » (p. 677) — avec des conséquences concernant la « légitimité » de certaines analyses statistiques.

La classification des échelles de mesure. Elle est appuyée sur une définition dite « au sens large » du mesurage, qui consiste en « l’attribution de nombres à des objets ou événements selon des règles » (p. 677). Ces règles reposent sur la notion-clé d’isomorphisme « entre ce que nous pouvons faire avec les aspects des objets et les propriétés des séries numériques » (p. 677).

L’échelle nominale. Il faut considérer une variable statistique, c’est-à-dire une application définie dans un ensemble d’objets (ou d’événements au sens de la théorie des probabilités) et à valeurs dans un ensemble de modalités descriptives (les aspects des objets ou des événements). Une échelle nominale résulte du codage numérique de ces modalités. Le « mesurage nominal » consiste à identifier les modalités descriptives de la variable par un nombre. L’isomorphisme entre l’ensemble des modalités et l’ensemble des nombres consiste en une bijection, i.e., une relation bi-univoque qui attribue à toute modalité un nombre unique. Un exemple d’échelle nominale est la relation dont le graphe est {(femelle, 0), (mâle, 1)}.

L’échelle ordinale. Il s’agit d’une échelle nominale ordonnée. L’isomorphisme entre l’ensemble des modalités et l’ensemble des nombres est enrichi de la notion de conservation de l’ordre des modalités ; il suffit que les nombres servant à identifier les modalités soient ordonnés conformément à l’ordre des modalités. Un exemple d’échelle ordinale est la relation dont le graphe est {(pas du tout d’accord, 1), (pas d’accord, 2), (d’accord, 3), (tout à fait d’accord, 4)} — ce qu’on appelle une échelle de Likert.

L’échelle d’intervalle. Soient x1, x2, x3 et x4 quatre valeurs distinctes d’une échelle d’intervalle. On s’intéresse au rapport des différences x2 − x1 et x4x3, c’est-à-dire à (x2 − x1)/(x4x3). Il se trouve que le rapport des différences (ax2 + b) − (ax1 + b) et (ax4 + b) − (ax3 + b), avec a > 0, est égal à (x2 − x1)/(x4x3) : les b s’annulent par différence et les a par division. Il n’est pas dit quelles sont les modalités dont on puisse ainsi considérer les différences, lesquelles supposent l’existence d’une fonction de mesurage affine reliant certains observables à une certaine grandeur (voir par exemple 36a). Lorsque Stevens utilise l’exemple du mesurage de la température par les hauteurs du mercure dans un thermomètre, il ne pose pas le problème de la mesurabilité d’une quantité de température par une quantité de hauteur de mercure, qui est un problème théorético-empirique ; sa démarche est focalisée sur l’étiquetage numérique de modalités descriptives et les propriétés numériques de ces étiquettes.

L’échelle de ratio. Soient x1, x2 deux valeurs distinctes d’une échelle de ratio. On s’intéresse au rapport x2/x1. Le rapport ax2/ax1, avec a > 0, est égal à x2/x1. Il n’est pas dit comment on peut établir, en général, que x1 et x2 puissent être mis en rapport ; c’est encore un problème théorético-empirique qui consiste à supposer que les valeurs numériques sont les images d’une fonction de mesurage linéaire (cf. 36a).

La conclusion. Stevens conclut en estimant avoir contribué, dans un esprit libéral et utilitaire, à une définition du mesurage qui réduit le problème du mesurage à un choix d’échelle de mesure guidé par les règles qu’on se donne pour représenter les objets ou événements à l’aide de nombres.

2. Commentaires

Remarque 1. Parce qu’elle rend le codage numérique nécessaire, une telle définition du mesurage est soit restrictive soit contradictoire. Restrictive, si on exclut que le mesurage puisse impliquer une description non-numérique des « objets ou événements ». Soient les objets identifiés par a, b, c ; {a, b, c} n’est pas une échelle nominale pour identifier ces objets parce que ni a ni b ni c ne sont des nombres. De même l’ordre alphabétique, l’ordre « échec < réussite », ne peuvent mesurer ordinalement des objets. Contradictoire, si on accepte des descriptions non-numériques parce que la définition énonce qu’il s’agit d’attribuer des nombres à des « objets ou événements » — peu importe que ces nombres soient des numéros, des ordinaux ou des nombres réels par exemple. Cette contradiction sur la forme signale une confusion sur le fond : avec la définition de Stevens, le complément d’objet direct du verbe mesurer n’est plus une quantité de grandeur mais la catégorie vague d’aspect d’un objet ou d’un événement »1. Par exemple, d’après Stevens, il faudrait dire qu’on mesure la réponse à un item de questionnaire, ce qui n’a rien à voir avec l’hypothèse que la réponse à cet item mesure une quantité psychologique. Il est inutile et ambigu d’utiliser des nombres pour faire des descriptions (et non pas des mesures) nominales ou ordinales : si on utilisait des notations claires (cf. 42a), on serait de fait dans l’impossibilité de calculer des scores psychotechniques, une bonne chose pour la lucidité scientifique des utilisateurs de scores.

Remarque 2. Du point de vue épistémologique, cette définition pose la question de savoir si la mesurabilité d’une grandeur via une technique descriptive donnée est un problème de convention (les règles d’attribution de nombres seraient une affaire de consensus, comme la notation scolaire) ou bien un problème empirique (existe-t-il des faits d’observation qui frapperaient d’incohérence l’affirmation qu’on sache mesurer telle grandeur à l’aide de telle ou telle technique de description des « objets ou événements » ?).

Remarque 3. Dans la mesure où les critères de jugement pour conférer aux nombres utilisés le statut de mesures d’intervalle ou de ratio ne sont pas envisagés (seules les conséquences de ces choix en termes de transformation fonctionnelle sont envisagés), ce qui constitue à proprement parler le problème du mesurage quantitatif (par opposition au mesurage ordinal d’une quantité), on est libre de penser que Stevens ne s’opposait pas à ce qu’on convienne que des nombres soient des mesures d’intervalle. La conséquence d’un tel conventionnalisme est qu’il détruit la différence épistémologique entre une mesure (possible seulement si on suppose une grandeur à mesurer d’une part, et une fonction de mesurage qui formalise un principe causal de mesurage d’autre part) et une évaluation (possible dès qu’on se donne l’échelle de mesure pour coder les descriptions).

Remarque 4. Stevens corrobore ce conventionnalisme lorsqu’il écrit « L’intelligence, par exemple, est utilement évaluée (« assessed » et non pas « measured ») sur des échelles ordinales qui tentent d’approcher des échelles d’intervalle et il n’est pas nécessaire de définir ce que zéro intelligence signifierait » (p. 679). S’il avait appliqué sa propre approche aux scores d’intelligence, Stevens aurait dû reconnaître qu’une échelle de scores n’est pas une échelle nominale des aspects des objets sur lesquels elle se fonde, puisque ces aspects sont décrits dans un ensemble de m-uplets (cf. 20a), que les scores ne permettent pas d’identifier de manière isomporphe (différentes façons de répondre à un test d’intelligence sont identifiées par un même score). Donc ce n’est pas une échelle ordinale parce qu’une échelle ordinale est (condition nécessaire) aussi une échelle nominale.

Les enjeux utilitaires (anthropocentrés) effacent le problème théorético-empirique de mesurage (parce que si l’intelligence était mesurable, ce serait une grandeur mesurable donc une grandeur et alors, la question de la plus petite quantité d’intelligence possible serait une question théoriquement non-négligeable) au profit d’un feu vert pour une convention à usage évaluatif qui permet, grâce à cet « élargissement » du sens du verbe « mesurer », d’emprunter le discours de la mesure.

Références

Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of measurement. Science, 103, 677-680.
Tafreshi, D., Slaney, K. L., & Neufeld, S. D. (2016). Quantification in psychology: Analysis of an unreflective practice. Journal of Theoretical and Philosophical Psychology, 36, 233-249.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "40a. Les échelles de mesure : lire Stevens (1946)", in Épistémologie de la psychologie, 12/07/2016, http://epistemo.hypotheses.org/3696.

  1. Je remercie Corentin Gonthier qui m’a suggéré ces précisions. []

38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique

Pour raisonner logiquement, respectons les règles de la logique. Ce billet présente les règles logiques de la négation, de la conjonction (et), de la disjonction (ou) et de l’implication avec des diagrammes et des tables de vérité.

Une proposition quelconque sera notée par une lettre majuscule. Soit A une proposition. Il faut distinguer deux intentions lorsqu’on articule des propositions : l’intention affirmative (A) et l’intention référentielle (A est une proposition)1. Lorsqu’on dit « A », on affirme A (on se positionne en acceptant le contenu de A). Lorsqu’on dit « A est une proposition », on affirme que A est une proposition, on se réfère à A sans se positionner sur A. On exclut aussi l’intention qui consiste à faire semblant d’affirmer (d’où la possibilité que l’application du logicien à formuler les problèmes de manière logique le fasse passer pour un naïf et, peut-être, la difficulté de faire de la politique de manière logique).

1. La négation (non-A, notée ¬A)

Logique non-ASoit A : quelque chose est un a. ¬A se lit : quelque chose n’est pas un a. Remplaçons quelque chose par x (cf. la figure ci-dessus ; tout ce qui est un a est mis dans l’ensemble a) : A est vraie et ¬A est fausse parce que x est un a. Remplaçons quelque chose par y, A est fausse et ¬A est vraie parce que y n’est pas un a.

Les valeurs de vérité de ¬A en fonction des valeurs de vérité de A sont représentées dans la table de vérité ci-dessous.

Table non-ALa ligne 1 se lit : si A est fausse (si on rejette A) alors ¬A est vraie (on accepte ¬A). Ou encore (voir 4), (A = 0) => (¬A = 1). La ligne 2 se lit : si A est vraie alors ¬A est fausse. Ou encore (voir 4), (A = 1) => (¬A = 0).

Exercice 1 : Montrer que ¬(¬A) = A — que la colonne A est identique à la colonne ¬(¬A).

Table non(nonA)

2. La conjonction (A et B, notée A ∧ B)

Logique A et B

Soit B : quelque chose est un b. A ∧ B est vraie pour x, fausse pour w, y et z.

Table A et BLa table de vérité ci-dessus représente la même information : si A est fausse et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est fausse et B vraie alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et si B vraie alors A ∧ B est vraie.

Exercice 2 : montrer que A ∧ (¬A) est fausse. (réponse : si A est vraie, ¬A est fausse ce qui correspond au cas w ; si A est fausse, ¬A est vraie ce qui correspond au cas y.)

3. La disjonction (A ou B, notée A ∨ B)

Logique A et BA ∨ B est fausse pour z, vraie pour w, x et y.

Table A ou B

Si A et B sont fausses alors A ∨ B est fausse, etc.

4. L’implication (A => B)

Logique A et B

A => B est fausse pour w, vraie pour x, y et z.

 Table A impl B

Si A et B sont fausses alors A => B est vraie (ce qui n’est pas intuitif), etc.

Exercice 3 (contraposée) : montrer que (A => B) = (¬B => ¬A) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬B => ¬A). (réponse : on déduit les valeurs de ¬B et de ¬A ligne par ligne en fonction des valeurs de A et de B ; ensuite on applique la définition de (A => B) à (¬B => ¬A) ligne par ligne ; enfin on constate que les colonnes sont identiques ; voir aussi Notturno, 2000))

Table ex3

Vocabulaire : A est une condition suffisante de B ; B est une condition nécessaire de A.

Exercice 4 : montrer que (A => B) = (¬A ∨ B) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬A ∨ B).

Table ex4

Exercice 5 (à partir de la tâche de sélection de Wason, 1968) : si une carte porte une voyelle d’un côté, alors elle porte un nombre impair de l’autre côté. On présente les quatre cartes E C 5 4. Quelles cartes faut-il retourner pour tester la règle ?  (réponse : le falsificateur de la règle est une carte « voyelle et pair » ; il faut donc retourner les cartes E et 4.)

Référence

Wason, P. C. (1968). Reasoning about a rule. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 20, 273-281.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique", in Épistémologie de la psychologie, 22/03/2016, http://epistemo.hypotheses.org/3470.

  1. Dans le premier cas, on utilise le langage comme un langage-objet tandis que dans le second, on utilise le langage comme un méta-langage, le langage qui permet de parler du langage-objet. []

34a. Rédiger en psychologie

Dans ce billet, je consigne des citations de copies. Les étudiants ont besoin d’être formés à l’expression écrite et nous, enseignants de psychologie, devons en tirer les conséquences. Il faut les faire écrire, les lire, les critiquer, les corriger, les faire écrire, les critiquer, etc., jusqu’à ce qu’il ne reste plus rien à corriger. L’expression d’une réflexion personnelle argumentée, documentée, responsable, est une partie constituante de notre capacité à perpétuer la démocratie et à contribuer à son développement — le reste, le kaléidoscope des doctrines psychologiques, est secondaire.

En réponse à la question « Un test psychologique est-il un instrument de mesure ? Justifiez » (2015, L2) :

  1. Oui, un test psychologique est un instrument de mesure parce qu’il peut mesurer différentes choses telles que l’intelligence avec le QI. [Justifier, c’est définir ce qu’est un instrument de mesure et montrer qu’un test psychologique satisfait ou pas la définition.]
  2. Oui, il peut mesurer par exemple le développement cognitif d’un enfant. Piaget en 1942 crée les tests de concervations pour cet effet. [Le développement cognitif n’est pas une grandeur mais un processus.]
  3. Un test psychologique est un instrument de mesure car une fois codé, les réponses pourrons être calculés. [Mesurer et calculer sont des synonymes (je passe sur la grammaire) ?]
  4. Non un test psychologique n’est pas un instrument de mesure car ce sont des personnes qui répondent au test donc ça serait eux, leurs réponses au test qui est notre « instrument de mesure ». [Ici, il faut avoir une mentalité d’accoucheur : oui vous pouvez le dire, mais il y a du travail.]
  5. Oui, car un test nous permet d’avoir des données quantitatives ou qualitatives que l’on peut mesurer grâce à des lois de mesures ou des échelles de mesures. Mesurer les résultats par la suite nous permet de discuter et comprendre les phénomènes psychologiques. [Défi : qui peut démêler cette pelote de mots ?]
  6. Non ce n’est pas un instrument de mesure car on ne peut pas le quantifier. [Certes, on ne peut pas quantifier un test psychologique. Quel est le complément d’objet direct du verbe quantifier ?]
  7. Oui c’est un instrument de mesure, il mesure des scores, c’est à dire une variable quantitative ; et non qualitative. [Quel est le complément d’objet direct du verbe mesurer ?]
  8. Le test psychologique est aussi appelé « instrument de test ». C’est donc un instrument de mesure. [La déduction est-elle valide ?]

En réponse à la question « Quelle est la définition du mesurage qui sous-tend qu’un score de QI mesure l’intelligence ? » (2015, L2) :

  1. Le mesurage permet d’avoir des résultat sur le score et peut etre situer dans une echelle. [Ici, il faut avoir une mentalité d’accoucheur : oui vous pouvez le dire, mais il y a du travail.]

En réponse à un sujet d’épistémologie (2015, M2R) :

  1. En sciences humaines, il est difficile de ne pas faire intervenir la subjectivité. Pour se rapprocher au plus près de « l’objet », nous avons des solutions comme le travail conjoint. [Il faudrait au moins donner un exemple. Nébuleux.]
  2. La recherche en science humaine, notamment en psychologie consiste à expliquer des enchainements entre des phénomènes. [Je vous parie que vous ne pouvez pas trouver un seul exemple d’article de science humaine (sic) qui explique comment deux phénomènes s’enchaînent.]
  3. Ces buts [de recherche] ont permis que ce projet de recherche soit accepté par le directeur du mémoire. Son rôle est de s’assurer que la recherche est utile. De plus, le directeur de Recherche donne également les directives pour conduire cette recherche de façon conforme à son laboratoire. [Un exemple de soumission à l’autorité institutionnelle : ne pas objecter à une telle démonstration de soumission, c’est approuver.]
  4. … les théories qu’invoquent le chercheur pour rendre compte de fait ne peut être objectif. [Quand les problèmes grammaticaux attaquent le sens d’une phrase. Peut-on négliger ce type de problèmes de maniement de l’écrit lorsqu’il s’agit de délivrer des diplômes universitaires de niveau bac+5 ?]
  5. Il est nécessaire pour avoir une part d’objectivité, d’admettre qu’il est difficile de l’être totalement lorsque l’homme (avec toute sa complexité) étudie l’homme. [Ce qu’on appelle du blabla : ne pas refuser le blabla, c’est l’accepter comme norme du discours.]
  6. [cette théorie] permet d’obtenir deux type de resultats : soit quel processus le sujet à utilisé pour la décision, soit quels facteurs sont les plus plébicités. [Ce qu’on appelle du blabla : ne pas refuser le blabla, c’est l’accepter comme norme du discours.]

32a. Comparabilité et incomparabilité de deux m-uplets

Voici quelques définitions utiles pour appréhender les conséquences de la description multivariée.

Soient x = (x1, x2, …, xm) = x1x2xm et y = (y1, y2, …, ym) = y1y2ym deux m-uplets. On pourrait utiliser les notations x et y à la place de x et y mais cela n’est pas absolument nécessaire.

Comparabilité. x et y sont comparables si

pour tout i = 1, 2, …, m, xiy — auquel cas x ≤ y –,
ou pour tout i = 1, 2, …, m, xi ≥ yi — auquel cas x ≥ y.

Incomparabilité. x et y sont incomparables, et on note x <> y, s’il existe i et j distincts dans {1, 2, …, m} tels que

xi < yi et xj > yj.

Exemples.

  1. 00 ≤ 00
  2. 01 <> 10
  3. 000 ≤ 001
  4. 100 <> 010
  5. 1000000 <> 0111111
  6. 12345 ≥ 01234
  7. zabd ≥ yaab (ordre alphabétique)
  8. ab <> ba (ordre alphabétique)
  9. jules <> cesar (ordre alphabétique).

Cite this article as: Stéphane Vautier, "32a. Comparabilité et incomparabilité de deux m-uplets", in Épistémologie de la psychologie, 16/12/2014, http://epistemo.hypotheses.org/2650.

21a. Comparer des scores

Voici une question d’examen, la réponse d’un étudiant de L2 et mes commentaires de sa réponse.

Question. Soit un test de mémoire composé de 20 items cotés 0/1. Le score compte le nombre de réponses correctes (cotées 1). Julie a un score de 13 points et Paul a un score de 18 points. Peut-on en déduire que Paul a une meilleure performance que Julie ? Pourquoi ? (Attention au fait qu’un score n’est pas une performance, une performance étant un 20-uplet.)

Réponse de l’étudiant. Oui on peut déduire que Paul a une meilleure performance. Les scores de la performance sont concrets, observables et surtout mesurables.

Commentaire. Commençons par la réponse : « Oui on peut déduire que Paul a une meilleure performance ». Erreur… 🙁 Il faut faire attention à ce que déduire signifie. On peut déduire B de A si A implique B, ou, c’est la même idée, si B découle logiquement de A. Ici, la prémisse est « Julie a un score de 13 points et Paul a un score de 18 points ». Est-ce que cela implique que le 20-uplet sur lequel repose le score de Paul est supérieur au 20-uplet sur lequel repose le score de Julie?

Non, on sait (cf. 32a) que deux 20-uplets ne sont pas nécessairement comparables. Or, la connaissance des scores (13 et 18) ne permet pas de savoir quels sont les 20-uplets respectifs. On ne peut pas exclure que 13 agrège l’information de 11111111111110000000 et que 18 agrège l’information de 00111111111111111111 par exemple. Or ces 20-uplets sont incomparables.

Utilisons les notations de 11a. On a 13 = AX(Julie) et 18 = AX(Paul) (en négligeant l’ancrage temporel des personnes pour définir complètement les unités d’observation).

« AX(Julie) < AX(Paul) » n’implique pas « X(Julie) ≤ X(Paul) ».

L’erreur de raisonnement est possible grâce à la confusion conceptuelle entre score et performance. Un score n’est pas une performance, c’est un jugement de valeur à propos, ou encore, une hiérarchisation sociale — par opposition à une hiérarchie naturelle — de la performance.

Concernant la justification de la réponse, « les scores de la performance sont concrets, observables et surtout mesurables », il y a du travail à faire au niveau du maniement du français. On peut traduire « Les scores de la performance » par « les résultats du scorage de la performance, i.e., les X = AX ». Ces résultats sont-ils concrets ? Ce qui est concret, c’est la performance observée. Le score résulte de l’application d’une règle d’agrégation A de la performance X. Il est objectif en ce sens que deux psychologues qui partent de la même performance X et appliquent la même règle A obtiennent le même score X. Mais je ne sais pas en quoi ce score est concret ; c’est un symbole communicable. Il est observable une fois qu’il est écrit sur une feuille de papier par exemple, mais cette remarque n’est pas pertinente ici. Ce qui est pertinent, c’est qu’il ne représente pas complètement la performance X.

Dernier élément de la justification de la réponse : « Les scores sont mesurables ». Non. Ce qui est mesurable, c’est une grandeur qui, par définition, est une possibilité théorique non observable. Les scores peuvent éventuellement être considérés comme des mesures, c’est-à-dire, comme des mesurants, mais pas comme des mesurés (dans le même sens qu’on distingue signifiant et signifié en linguistique). Ce qui est mesurable, c’est le mesuré, pas le mesurant.

20a. Les m-uplets et leur dénombrement

Pour réfléchir aux problèmes de description objective, dont le mesurage est une des formes possibles, il faut pouvoir manipuler quelques abstractions élémentaires.

1. Les m-uplets

Un test de m items permet d’observer un m-uplet de réponses. Quand vous lisez le mot m-uplet, visualisez quelque chose comme ceci :

(¤, ¤, ¤, …, ¤),

où le symbole « ¤ » désigne une place vide. Un m-uplet est une liste de m places numérotées, peu importe qu’elles soient vides ou remplies. La place n° 1 désigne la réponse à l’item n° 1, la place n° 2 désigne la réponse à l’item n° 2 et ainsi de suite jusqu’à la dernière place, la n° m. Une place vide signifie qu’on ne connaît pas la valeur de la réponse mais que cette réponse est possible.

La réponse au test est par définition un m-uplet de réponses aux m items du test. Pour habituer votre esprit à cet objet, vous pouvez jouer avec la valeur de m. Si le test comporte 20 items, la réponse au test est un 20-uplet (ce qui entraîne qu’il faut 20 places pour l’écrire). Si le test comporte 5 items, la réponse au test est un 5-uplet, etc.

2. Le nombre de m-uplets possibles

Quand on s’intéresse à un test, il faut pouvoir conceptualiser l’ensemble dans lequel se trouvent les observations qu’on peut faire. C’est l’ensemble de toutes les réponses possibles, autrement dit l’ensemble de tous les m-uplets possibles.

Beaucoup de gens, y compris des gens qui enseignent ou font de la recherche en psychologie, n’ont pas d’idée claire de ce qu’est un tel ensemble, ce qui est préjudiciable à leur réflexion parce que cet ensemble est une réalité logique fondamentale. On ne peut raisonner clairement si on ne sait pas sur quoi on raisonne, et, si la psychologie est une science empirique, c’est qu’on utilise une technique descriptive, de telle sorte qu’on raisonne sur l’ensemble des m-uplets possibles associés à cette technique descriptive (voir aussi l’article n° 18a).

Commençons par le cas le plus simple, un test à un item. Puisqu’on considère les réponses à un seul item, on cherche à se représenter (se faire une image de) l’ensemble de tous les 1-uplets possibles. Ici se trouve une chausse-trappe : on parle de 1-uplets, on retient le « 1 » dans sa tête et on déduit à tord qu’il y a un 1-uplet possible. Il faut savoir de quoi dépend le nombre de 1-uplets possibles. Le nombre de 1-uplets possibles est le nombre de réponses possible à cet item.

Si l’item est par exemple l’échelle analogique de douleur, il existe une infinité de points dans le segment [0 cm, 10 cm]. Donc il existe une infinité de 1-uplets possibles. Si l’item a deux réponses possibles (par exemple, l’item de calcul mental dont les réponses sont « incorrect » ou « correct »), il existe deux 1-uplets possibles. Si l’item est défini par k réponses possibles, il y a k 1-uplets possibles. Le nombre de m-uplets possibles n’est pas m.

Maintenant, considérons un test à deux items. On s’intéresse à l’ensemble des 2-uplets possibles. Ici, il faut combiner les réponses possibles au premier item avec les réponses possibles au second item. Le premier item a k1 réponses possibles et le second item a k2 réponses possibles. On procède de la manière suivante : on considère la première réponse possible au premier item, puis on considère les k2 réponses possibles au second item. On a donc k2 2-uplets possibles qui commencent par la première réponse au premier item. On passe ensuite à la seconde réponse possible au premier item, ce qui donne à nouveau k2 2-uplets possibles, qui commencent par la seconde réponse au premier item. On a donc 2 × k2 2-uplets possibles. On continue ainsi jusqu’à la k1ième réponse au premier item, ce qui donne k1 × k2 2-uplets possibles.

Généralisons : on considère un test de m items à  k1, k2, …, km réponses, respectivement. On a donc

k1 × k2 × … × km

m-uplets possibles.

Cas particulier : soit un test de m items à k modalités de réponse. On a k × k × … × k = km m-uplets possibles. Par exemple, un test de 20 items binaires génère un ensemble de 220 20-uplets possibles. Une seconde chausse-trappe mérite d’être signalée car beaucoup de gens s’y font piéger : le nombre de 20-uplets possibles n’est pas 202 !

Exercice non corrigé

Cite this article as: Stéphane Vautier, "20a. Les m-uplets et leur dénombrement", in Épistémologie de la psychologie, 21/06/2014, http://epistemo.hypotheses.org/1608.

11a. Scorage vs. mesurage psychotechnique

Ce billet demande patience et ténacité parce que certaines notions techniques, simples mais abstraites, sont mobilisées pour une conceptualisation minutieuse. Le cas échéant, le lecteur ne doit pas hésiter à consulter Internet sur certaines notions spécifiques (application, composition d’applications, produit cartésien, fonction croissante…). La notion fondamentale de m-uplet est détaillée dans 20a.

La différence conceptuelle entre le scorage psychotechnique et ce qui serait un authentique mesurage psychotechnique peut être mise en évidence en décrivant l’un et l’autre comme la composition de deux applications, A ○ X vs. F ○ Q. Pour montrer que scorage et mesurage ne sont pas synonymes, il suffit de montrer que les deux applications composées ne sont pas identiques .

Déterminer le score psychotechnique d’une personne à un moment donné consiste à déterminer (via X) puis à scorer (via A) une description psychotechnique de cette personne à ce moment. Mesurer nécessite de supposer que la description psychotechnique résulte d’un processus de mesurage (formalisé par F) d’une certaine quantité déterminée (via Q). Si cette supposition est fausse, la description ne résulte pas d’un mesurage. Le scorage de cette description se présente alors comme une forme de pseudo-mesurage où le codage numérique se substitue au mesurage.

1. Description psychotechnique X

La description psychotechnique est une application X : Ω → D. Son ensemble de départ, Ω, est une population statistique. Une unité d’observation de Ω consiste le plus couramment en une personne e à un certain moment t, la notion de « moment » correspondant à l’intervalle de temps nécessaire à la passation du test ; une unité d’observation quelconque est notée ω = (e, t).

L’ensemble d’arrivée de X est noté D (pour description). Les éléments de D sont des m-uplets, où m indique le nombre d’items du test1. Le caractère gras de la notation D indique que la description est multivariée — elle a la forme d’un m-uplet où m > 1 — (par opposition à univariée — un score est un 1-uplet). Il est facultatif mais je l’utilise ici pour aider à distinguer entre multi- et univarié. La description psychotechnique d’une unité d’observation ω est la donnée de m réponses au test ; cette donnée se note X(ω) = x (pour les notations, cf. 42a).

L’application X est l’application conjointe

X1X2…Xm : Ω → D1×D2×…×Dm = D

(D est un produit cartésien), où tout Xi, i = 1, 2, …, m, associe à toute unité d’observation une et une seule valeur dans l’échelle des valeurs descriptives de l’item i.

2. Règle de scorage psychotechnique A

Une règle de scorage psychotechnique est une application notée A : D → S (A pour agrégation). Son ensemble de départ est l’ensemble d’arrivée de X, c’est-à-dire l’ensemble des m-uplets qui peuvent être envisagés étant donné le test. L’ensemble d’arrivée de A est noté S pour scores. Le score d’un m-uplet quelconque de D est déterminé par des « règles de transformation », ou encore d’agrégation (d’où la notation A). Par exemple, le score de (0, 1, 1) est 2 points si on utilise la règle usuelle de l’addition des nombres qui se trouvent dans le m-uplet (on parle aussi de score composite, cf. 17a).

3. Scorage psychotechnique A ○ X

Tester une personne à un certain moment avec un certain test consiste à déterminer ses réponses aux m items du test — X(ω) — puis à attribuer un score à cette description — A[X(ω)]. Cette composition d’applications se note A ○ X. Le score de l’unité d’observation ω est

(A ○ X)(ω) = A[X(ω)] aussi noté X(ω).

4. Hypothèse quantitative Q

Le mesurage repose sur l’hypothèse fondamentale qu’une quantité existe (on mesure une quantité ou on ne mesure pas). Cette hypothèse peut se formuler comme l’hypothèse de l’existence d »une application Q : Ω → [0, max], qui à toute unité d’observation de Ω, associe une et une seule quantité q définie dans le segment [0, max], où « max » désigne la quantité maximale possible.

La notion statistique d’unité d’observation appelle une remarque particulière dans ce contexte. Supposer que la personne possède une quantité psychologique instantanée est une chose, supposer que cette quantité ne varie pas dans l’intervalle de temps nécessaire à la passation du test en est une autre. La convention d’invariance de la quantité à mesurer pendant la passation du test est nécessaire pour tester la mesurabilité de la quantité visée par le test (voir la convention C).

5. Fonction de mesurage F

La fonction de mesurage F : [0, max] → D est définie sur le segment [0, max] et prend ses valeurs dans l’ensemble D. Soit un test de m items. Pour tout item i du test, on suppose qu’il existe une fonction croissante Fi : [0, max] → Di, où Di est l’échelle des valeurs descriptives de l’item i (voir l’article Mesurer avec les réponses à un item). La fonction F est la fonction conjointe

F1F2…Fm : [0, max] → D1×D2×…×Dm = D.

La mesure de la quantité q par F est un m-uplet de valeurs, qu’on note y. F(q) = y.

Une propriété critique des valeurs de la fonction F est qu’elles sont simplement ordonnées parce que toute fonction Fi est croissante. Ce point est détaillé dans la section 6. Cette propriété d’ordre simple, ou encore de comparabilité, rend falsifiable la proposition selon laquelle deux descriptions particulières X(ω1) et X(ω2) résultent du mesurage des quantités Q(ω1) et Q(ω2). Il suffit que X(ω1) et X(ω2) soient incomparables, et on note X(ω1) <> X(ω2), pour que ces descriptions ne soient pas des mesures ordinales.

6. Mesurage psychotechnique F ○ Q

Si un test psychologique permet de mesurer la quantité psychologique d’une unité d’observation ω, c’est que cette quantité, Q(ω), détermine la description psychotechnique F[Q(ω)]. Le mesurage psychotechnique est donc la composition F ○ Q.

Soient les unités d’observation ω1 et ω2. Leurs mesures sont respectivement (F ○ Q)(ω1) = F[Q(ω1)] = Y(ω1) et (F ○ Q)(ω2) = F[Q(ω2)] = Y(ω2), où la lettre Y désigne l’application F ○ Q.

Ordre produit direct (définition). On dit que F[Q(ω1)] ≥ F[Q(ω2)] si et seulement si quel que soit i, Fi[Q(ω1)] ≥ Fi[Q(ω2)]. Cette définition s’applique aussi à X.

Théorème. F est croissante.

Démonstration

Soient ω1 et ω2 tels que Q(ω1) ≠ Q(ω2) :

  • Si Q(ω1) > Q(ω2), alors quel que soit i = 1, 2, …, m, Fi[Q(ω1)] ≥ Fi[Q(ω2)] donc F[Q(ω1)] ≥ F[Q(ω2)].
  • Si Q(ω1) < Q(ω2) on se ramène au cas précédent en intervertissant les indices de ω.

Comparabilité (ordre simple). La croissance de F implique que deux mesures y1 et y2 sont comparables.

7. Scorage vs. mesurage

Scorage et mesurage sont des opérations distinctes, puisque X = A ○ X n’est pas la même opération que Y = F ○ Q. Autrement dit, disposer d’un score composite X(ω) ne signifie pas qu’il existe une fonction croissante F telle que X = FQ.

Soit un ensemble Ωn de n unités d’observation. S’il existe une fonction F telle que l’image de Ωn par X soit égale à l’image de Ωn par F ○ Q, c’est-à-dire Xn) = (F ○ Q)(Ωn), alors on peut supposer que les descriptions psychotechniques Xn) sont des mesures ordinales des quantités Q(Ωn). En d’autres termes, ces descriptions sont simplement ordonnées, c’est-à-dire que les descriptions de deux unités d’observation distinctes sont égales ou strictement ordonnées. Le score exprime alors cette propriété ordinale de comparabilité.

Si une telle fonction F n’existe pas, on ne sait pas mesurer les quantités Q(Ωn). Il est possible que cette ignorance découle de l’inexistence des quantités (l’hypothèse Q est fausse), ou de notre incapacité à déterminer les conditions expérimentales qui permettent de supposer l’existence de F sans être contredit par les observations.

S’il existe deux unités d’observations ω1 et ω2 dont les descriptions sont incomparables, c’est-à-dire qu’il existe i et j tels que Xi(ω1) > Xi(ω2) et Xj(ω1) < Xj(ω2), alors F n’existe pas et donc on ne peut pas affirmer que les descriptions résultent d’un mesurage par F des quantités supposées.

8. Exercice non corrigé

  1. Un 3-uplet est par exemple (0, 1, 1), où 0 et 1 indiquent respectivement une réponse incorrecte et une réponse correcte. []

10a. Comment Dickes et al. présentent la mesure en psychologie

Dans leur ouvrage « La psychométrie : théories et méthodes de la mesure en psychologie  » (1994), Paul Dickes, Jocelyne Tournois, André Flieller et Jean-Luc Kop tentent une présentation orthodoxe des « théories et méthodes de la mesure en psychologie ». Par « orthodoxe », j’entends « qui ne conteste pas l’idée qu’on sache mesurer en psychologie ».

Si on croit qu’on ne sait mesurer aucune grandeur psychologique avec des réponses à des items de test (au sens de la définition donnée dans 3a), lire cet ouvrage revient à assister à une tentative de sauvetage du préjugé qu’on sait mesurer en psychologie. On a parfois l’impression que les auteurs eux-mêmes sont pris de doute (par exemple, ils citent, p. 23, Maurice Reuchlin remarquant en 1962 que « si l’on admet à la fois la formulation axiomatique utilisée par Campbell et le caractère nécessairement univoque de l’attribution des nombres aux choses mesurées, on peut montrer que les grandeurs psychologiques n’ont jamais encore été mesurées » et, p. 30, Clyde Coombs qui « soutient même que le comportement est fondamentalement un ordre partiel »), mais ils ne franchissent pas le Rubicon.

Pour rester orthodoxes, les auteurs confondent mesurage et scorage (ou agrégation numérique) : mesurer, c’est noter1. Pour pouvoir soutenir qu’on sait mesurer en psychologie, il faut faire admettre que mesurer, c’est appliquer une méthode de transformation de données en nombres. Mais les auteurs n’envisagent pas que certaines connaissances — des faits falsifiants — puissent empêcher cette transformation, de telle sorte qu’on soit contraint de conclure que dans telle ou telle situation, on ne sait pas mesurer — ce qui ne veut pas dire qu’on ne sache pas noter malgré tout.

Ici gît ce qui me paraît une entorse majeure à l’esprit scientifique. Faire de la science, c’est accepter le verdict des faits empiriques contre notre désir de réduire le réel à nos propres catégories cognitives — contre nos théories, notre vision du monde. L’orthodoxie psychométrique procède moins du désir de connaître, indissociable de notre tolérance à l’ignorance (connaître quelque chose, c’est reconnaître qu’on ignore autre chose), que du désir d’évaluer. Le désir d’évaluer fonctionne comme un impératif catégorique dans le champ social : il faut pouvoir évaluer. Parfois, l’évaluation est une exigence d’efficacité vitale — cette proie, ce prédateur, sont-ils plus forts que moi ? Si le contexte social conduit à la nécessité sociale d’évaluer des personnes, alors le problème n’est pas de déterminer ce en quoi consiste cette nécessité, mais de savoir comment le faire (voir l’exemple de l’échelle métrique de l’intelligence de Binet et Simon). Autrement dit, pas question de ne pas évaluer. Or, évaluer, c’est parler le langage du « plus ou moins ».

D’un autre côté, transformer des données en nombres sans clause d’impossibilité logico-empirique, c’est exactement de la numérologie :

 pour que les faits empiriques te disent ce que tu veux savoir, tu les exprimeras en nombres.

D’où un problème de légitimation. Si la légitimation consiste en la satisfaction du critère de scientificité de la psychotechnique, on débouche sur le problème poppérien de la démarcation entre science et non-science (voir Popper, 1973). Cette numérologie revêt une allure de scientificité grâce à la modélisation statistique et à une forme de contrôle de la modélisation par les faits empiriques — pour préserver l’empirisme nécessaire à toute science qui se dit empirique. Mais ce contrôle, lorsqu’il procède effectivement du test d’une hypothèse, porte sur des phénomènes qui se manifestent à une échelle qui n’a rien à voir avec l’échelle de la personne individuelle. L’agrégation s’applique cette fois, non pas à des  symboles (la numérologie), mais à des personnes. Les échantillons résultants sont alors supposés provenir de populations statistiques (qui ne sont pas équivalentes à des populations démographiques — voir aussi 15a). Par exemple, la théorie factorielle de l’intelligence a pour objet des matrices de corrélations qui ne décrivent personne en particulier ni quiconque en général.

Si on sait mesurer, on sait mettre en nombres de manière scientifique. Si on parle le langage des nombres, on sait parler le langage du « plus ou moins ». Ce langage a une utilité évaluative. Mais ce raisonnement n’est pas réversible : mettre en nombres, ce n’est pas nécessairement mesurer si par mesurer, on entend profiter de ce que les phénomènes qu’on sait décrire soient quantitatifs (i.e., obéissent aux axiomes de la quantité). Il se peut que les phénomènes psychotechniques, c’est-à-dire les phénomènes qu’on sait décrire avec des tests, ne soient pas quantitatifs. Dès lors, franchir le Rubicon, i.e., affirmer qu’on ne sait pas mesurer avec des réponses à des items de tests, c’est dire à certains acteurs du champ social, concernés par l’évaluation des personnes, que la psychotechnique est une psychonumérologie, ou encore qu’on ne sait pas soutenir sur des bases scientifiques que la mise en nombres psychotechnique (ou psychométrique) soit fondée sur des lois naturelles quantitatives. D’où un vide non pas technique, mais scientifique. Franchir le Rubicon, c’est ôter aux descriptions que l’évaluateur impose aux êtres pour les classer dans ses espaces d’évaluation leur caractère naturel (voir la critique de l’échelle métrique de l’intelligence de Binet et Simon).

En ne franchissant pas le Rubicon, on évite de heurter la (toute-)puissance de l’évaluateur. On  institue la validation des tests comme un problème d’experts, l’essentiel étant qu’on dispose (1) de techniques de description numérique, qui constituent dès lors un arsenal scientifiquement légitime pour l’évaluation, et (2) d’une cohorte d’agents psychotechniques pour sa mise en œuvre. Bien entendu, ce tableau présente une tournure idéologique : qui est « on » ? Disons, pour le moment, que cette figure de rhétorique est provisoire et qu’elle permet de ne pas tout développer à la fois (mais voir 19a). Les processus d’institutionnalisation ou de formation de paradigmes relèvent d’une analyse qui permette de montrer comment les comportements individuels se coordonnent sans l’intervention d’un « on » personnalisé2.

Le problème pour le psychologue lambda à qui il revient de mettre en nombres les personnes via ce qu’il connaît d’elles à travers leurs réponses aux tests, c’est qu’il ne jouit pas de l’expertise psychométrique. Il participe de la reconnaissance collective de l’expertise des psychométriciens par défaut (il n’en cerne pas les limites). Autrement dit, il doit se débrouiller pour faire croire dans son champ social particulier que ses nombres valent quelque chose parce que, d’une certaine manière, il en vit, quand bien même il ne sait pas les justifier lui-même du point de vue scientifique. Et il n’a pas intérêt à souligner qu’il ne sait pas le faire parce qu’alors il soulignerait son manque d’expertise, lequel, dans un contexte de concurrence exacerbée sur le marché du travail, le désignerait comme adversaire fragile (facile à éliminer). C’est ici que les remarques générales de Jean-Paul Allouche dans sa tribune prennent une pertinence particulière pour les psychologues.

Références

Allouche, J.-P. (2014). Connaître n’est pas mesurer. Le Monde, 29 janvier.

Dickes, P., Tournois, J., Flieller, A., & Kop, J.-L. (1994). La psychométrie. Paris: Presses Universitaires de France.

Popper, K. R. (1973). La logique de la découverte scientifique. Paris: Payot.

  1. Pour une distinction formelle, voir 11a. []
  2. Par exemple, comment acceptons-nous le prix des choses alors que personne en particulier ne nous l’impose ? Comment les journalistes acceptent-ils de ne pas poser certaines questions, comme par exemple, qui fabrique l’argent et décide de sa mise en circulation, alors que personne en particulier ne le leur interdit ? []

9a. Les réponses à des items de test sont des mesures : convention, falsifiabilité, validité

Lorsqu’on affirme que les réponses à un certain item de test mesurent une grandeur, on affirme une convention. On propose aux membres d’un collectif d’accepter une façon de parler. Refuser ou accepter cet usage linguistique n’est pas une question empirique, on ne peut pas fonder son refus sur la base de faits d’observation qui viendraient contredire cela (voir aussi Popper).

Lorsqu’on affirme que les réponses à deux (ou plus) items mesurent la même grandeur, on affirme aussi une convention. D’un point de vue expérimental, les réponses aux items correspondent à des moments successifs et on ne dit pas que la quantité de la grandeur qui détermine la réponse au premier item est la même que la quantité de la grandeur qui détermine la réponse au deuxième item (etc.).

Cependant, un test psychotechnique est une collection d’items, c’est-à-dire qu’on adopte une convention supplémentaire. On affirme que la quantité qui détermine la réponse à tout item du test ne varie pas dans l’intervalle de temps nécessaire pour obtenir les réponses — sinon, on ne dirait pas que le test mesure une quantité de la grandeur. On affirme une convention qui rend falsifiable l’affirmation que les items du test mesurent la même quantité de la même grandeur. Des notations sont utiles pour mettre en évidence la structure logique (hypothético-déductive) de l’argument.

Soit une population donnée d’unités d’observation telle que quelle que soit une unité d’observation,
A : la réponse à l’item I1 mesure une quantité q1 de la grandeur Q,
B : la réponse à l’item I2 mesure une quantité q2 de la grandeur Q,
C : dans un intervalle de temps inférieur (ou égal) à dt (le temps nécessaire à la passation des items en question), la quantité de la grandeur Q ne varie pas (i.e., q1 = q2 = q).

D : si A et B et C, alors les réponses aux deux items lorsque ceux-ci sont utilisés dans dt, forment un 2-uplet et les 2-uplets qu’on peut observer dans la population statistique à laquelle on s’intéresse obéissent à une loi d’ordre simple : deux 2-uplets distincts issus de cette population sont comparables : l’un est inférieur à l’autre (voir aussi 11a, 31a).

Voici un argument valide, c’est-à-dire que la conclusion (D) découle logiquement de la prémisse (A et B et C).

En développant ce qu’est une loi d’ordre simple, on va s’apercevoir que la prémisse est testable, parce qu’il existe au moins un fait d’observation possible qui contredit la prémisse (11a). Ce fait d’observation possible est un falsificateur (Popper, 1973). Comme l’hypothèse « A et B et C » est falsifiable, c’est une hypothèse scientifique.

Comment utiliser la testabilité de l’hypothèse ? Tout argument de type « si prémisse alors conclusion  » est équivalent à « si non-conclusion alors non-prémisse » (voir aussi Notturno, 2000, sur la validité). Supposons qu’on observe une réponse aux deux items qui falsifie la prémisse « A et B et C ». Alors « non-(A et B et C) », c’est-à-dire qu’au moins une des trois propositions A, B ou C est fausse. Puisque C est vraie par convention (i.e., on ne touche pas à sa valeur de vérité pour des raisons de falsifiabilité), soit la réponse à l’item I1 ne mesure pas la quantité q de la grandeur Q, soit la réponse à l’item I2 ne mesure pas la quantité q de la grandeur Q, soit la réponse aux deux items ne mesure pas la quantité q de la grandeur Q.

Tout cela peut demander un certain travail, inutile si on refuse ce qu’il faut admettre pour soutenir l’hypothèse : il faut admettre que les réponses ne dépendent que de la quantité à mesurer (voir la définition du mesurage), ce qui, dans la communauté des psychologues, est considéré comme quelque chose d’intenable — les psychologues sont les premiers à reconnaître que la réponse à un item de test résulte d’un processus hyper-complexe qu’on ne comprend pas.

D’où un point de bifurcation. (1) 0n peut, pour l’exercice, montrer que l’hypothèse « les réponses aux deux (ou plus) items mesurent une quantité de la grandeur » est vouée à la falsification, en comptant sur la bonne foi des observateurs qui seront témoins d’observations falsifiantes (voir les articles 12a et 13a). C’est très intéressant parce qu’en psychologie, à mon humble avis, on n’a pas l’habitude de raisonner de cette manière alors que c’est possible et instructif.

(2) On peut s’intéresser à ce qui permet aux psychologues de croire d’un côté qu’on sait mesurer avec des réponses à des tests et d’un autre côté que les réponses à des tests dépendent d’une myriade de facteurs inconnus. On doit alors aborder la théorie classique des tests puis la théorie de la réponse à l’item, c’est-à-dire plonger dans une certaine utilisation du langage des probabilités. C’est très intéressant parce qu’on voit comment la notion de probabilité peut être utilisée de manière à faire croire qu’on sait des choses alors même qu’on est en train de raconter qu’on ne sait pas expliquer ce qui se produit, et comment on confond l’interlocuteur (et soi-même) en passant sans prévenir d’une classe de référence à une autre (pour une analyse approfondie, voir 25a).

Si on veut tout de suite sortir du musée psychométrique, il suffit de retenir que les approches psychométriques mentionnées ne permettent pas de déduire quoi que ce soit des réponses qu’on peut observer — à l’échelle d’une personne. En d’autres termes, les modèles psychométriques sont infalsifiables — à l’échelle d’une personne. En tant que domaine d’application pour la modélisation statistique, la psychométrie introduit une norme épistémologique nouvelle dans le champ des sciences empiriques : si on ne peut déduire quoi que ce soit d’une théorie psychométrique, il est acceptable de deviner (plutôt que ne rien dire du tout), en utilisant une théorie statistique de la meilleure estimation (par exemple, la maximisation de la vraisemblance). Mais même si elle est statistique, une méthode de divination reste une méthode de divination.