Archives de catégorie : c. TD

40a. Les échelles de mesure : lire Stevens (1946)

S. S. Stevens publie en 1946 son célèbre article « On the theory of scales of measurement« , que Tafreshi, Slaney et Neufeld (2016, p. 6) qualifient de contribution majeure du 20e siècle dans le domaine de la mesure en psychologie, et qui présente la fameuse catégorisation d’échelles numériques dites « de mesure », à savoir les échelles « nominales », « ordinales », « d’intervalle » et « de ratio », catégorisation qui est enseignée dans tout cours de psychologie quantitative. Chaque type d’échelle de mesure possède des règles de légitimité concernant les calculs qu’on peut appliquer aux nombres dont elles sont formées. Ce billet en donne un commentaire critique du point de vue où mesurer, c’est utiliser l’hypothèse qu’il existe une fonction croissante, définie dans le segment [0, max] où « max » désigne la quantité la plus grande possible de la grandeur qu’on veut mesurer, à valeurs dans l’ensemble des observables qui sont utilisés comme des mesures de la grandeur (cf. 3a).

1. Aperçu de l’article

L’article (quatre pages) se compose d’une introduction, d’une section portant sur l’idée de classification d’échelles de mesure, de quatre sections respectivement consacrées à chaque type d’échelle et d’une conclusion.

L’introduction. Partant des travaux d’un comité de la British Association for the Advancement of Science, qui fût dédié à l’examen de la possibilité de mesurer les sensations, et retenant de son rapport final que la signification (meaning) du verbe « mesurer » reste discutable, l’introduction propose de « reconnaître que le mesurage [measurement] existe sous des formes variées et que les échelles de mesure [scales of measurement] tombent dans des classes bien définies » (p. 677) — avec des conséquences concernant la « légitimité » de certaines analyses statistiques.

La classification des échelles de mesure. Elle est appuyée sur une définition dite « au sens large » du mesurage, qui consiste en « l’attribution de nombres à des objets ou événements selon des règles » (p. 677). Ces règles reposent sur la notion-clé d’isomorphisme « entre ce que nous pouvons faire avec les aspects des objets et les propriétés des séries numériques » (p. 677).

L’échelle nominale. Il faut considérer une variable statistique, c’est-à-dire une application définie dans un ensemble d’objets (ou d’événements au sens de la théorie des probabilités) et à valeurs dans un ensemble de modalités descriptives (les aspects des objets ou des événements). Une échelle nominale résulte du codage numérique de ces modalités. Le « mesurage nominal » consiste à identifier les modalités descriptives de la variable par un nombre. L’isomorphisme entre l’ensemble des modalités et l’ensemble des nombres consiste en une bijection, i.e., une relation bi-univoque qui attribue à toute modalité un nombre unique. Un exemple d’échelle nominale est la relation dont le graphe est {(femelle, 0), (mâle, 1)}.

L’échelle ordinale. Il s’agit d’une échelle nominale ordonnée. L’isomorphisme entre l’ensemble des modalités et l’ensemble des nombres est enrichi de la notion de conservation de l’ordre des modalités ; il suffit que les nombres servant à identifier les modalités soient ordonnés conformément à l’ordre des modalités. Un exemple d’échelle ordinale est la relation dont le graphe est {(pas du tout d’accord, 1), (pas d’accord, 2), (d’accord, 3), (tout à fait d’accord, 4)} — ce qu’on appelle une échelle de Likert.

L’échelle d’intervalle. Soient x1, x2, x3 et x4 quatre valeurs distinctes d’une échelle d’intervalle. On s’intéresse au rapport des différences x2 − x1 et x4x3, c’est-à-dire à (x2 − x1)/(x4x3). Il se trouve que le rapport des différences (ax2 + b) − (ax1 + b) et (ax4 + b) − (ax3 + b), avec a > 0, est égal à (x2 − x1)/(x4x3) : les b s’annulent par différence et les a par division. Il n’est pas dit quelles sont les modalités dont on puisse ainsi considérer les différences, lesquelles supposent l’existence d’une fonction de mesurage affine reliant certains observables à une certaine grandeur (voir par exemple 36a). Lorsque Stevens utilise l’exemple du mesurage de la température par les hauteurs du mercure dans un thermomètre, il ne pose pas le problème de la mesurabilité d’une quantité de température par une quantité de hauteur de mercure, qui est un problème théorético-empirique ; sa démarche est focalisée sur l’étiquetage numérique de modalités descriptives et les propriétés numériques de ces étiquettes.

L’échelle de ratio. Soient x1, x2 deux valeurs distinctes d’une échelle de ratio. On s’intéresse au rapport x2/x1. Le rapport ax2/ax1, avec a > 0, est égal à x2/x1. Il n’est pas dit comment on peut établir, en général, que x1 et x2 puissent être mis en rapport ; c’est encore un problème théorético-empirique qui consiste à supposer que les valeurs numériques sont les images d’une fonction de mesurage linéaire (cf. 36a).

La conclusion. Stevens conclut en estimant avoir contribué, dans un esprit libéral et utilitaire, à une définition du mesurage qui réduit le problème du mesurage à un choix d’échelle de mesure guidé par les règles qu’on se donne pour représenter les objets ou événements à l’aide de nombres.

2. Commentaires

Remarque 1. Parce qu’elle rend le codage numérique nécessaire, une telle définition du mesurage est soit restrictive soit contradictoire. Restrictive, si on exclut que le mesurage puisse impliquer une description non-numérique des « objets ou événements ». Soient les objets identifiés par a, b, c ; {a, b, c} n’est pas une échelle nominale pour identifier ces objets parce que ni a ni b ni c ne sont des nombres. De même l’ordre alphabétique, l’ordre « échec < réussite », ne peuvent mesurer ordinalement des objets. Contradictoire, si on accepte des descriptions non-numériques parce que la définition énonce qu’il s’agit d’attribuer des nombres à des « objets ou événements » — peu importe que ces nombres soient des numéros, des ordinaux ou des nombres réels par exemple. Cette contradiction sur la forme signale une confusion sur le fond : avec la définition de Stevens, le complément d’objet direct du verbe mesurer n’est plus une quantité de grandeur mais la catégorie vague d’aspect d’un objet ou d’un événement »1. Par exemple, d’après Stevens, il faudrait dire qu’on mesure la réponse à un item de questionnaire, ce qui n’a rien à voir avec l’hypothèse que la réponse à cet item mesure une quantité psychologique. Il est inutile et ambigu d’utiliser des nombres pour faire des descriptions (et non pas des mesures) nominales ou ordinales : si on utilisait des notations claires (cf. 42a), on serait de fait dans l’impossibilité de calculer des scores psychotechniques, une bonne chose pour la lucidité scientifique des utilisateurs de scores.

Remarque 2. Du point de vue épistémologique, cette définition pose la question de savoir si la mesurabilité d’une grandeur via une technique descriptive donnée est un problème de convention (les règles d’attribution de nombres seraient une affaire de consensus, comme la notation scolaire) ou bien un problème empirique (existe-t-il des faits d’observation qui frapperaient d’incohérence l’affirmation qu’on sache mesurer telle grandeur à l’aide de telle ou telle technique de description des « objets ou événements » ?).

Remarque 3. Dans la mesure où les critères de jugement pour conférer aux nombres utilisés le statut de mesures d’intervalle ou de ratio ne sont pas envisagés (seules les conséquences de ces choix en termes de transformation fonctionnelle sont envisagés), ce qui constitue à proprement parler le problème du mesurage quantitatif (par opposition au mesurage ordinal d’une quantité), on est libre de penser que Stevens ne s’opposait pas à ce qu’on convienne que des nombres soient des mesures d’intervalle. La conséquence d’un tel conventionnalisme est qu’il détruit la différence épistémologique entre une mesure (possible seulement si on suppose une grandeur à mesurer d’une part, et une fonction de mesurage qui formalise un principe causal de mesurage d’autre part) et une évaluation (possible dès qu’on se donne l’échelle de mesure pour coder les descriptions).

Remarque 4. Stevens corrobore ce conventionnalisme lorsqu’il écrit « L’intelligence, par exemple, est utilement évaluée (« assessed » et non pas « measured ») sur des échelles ordinales qui tentent d’approcher des échelles d’intervalle et il n’est pas nécessaire de définir ce que zéro intelligence signifierait » (p. 679). S’il avait appliqué sa propre approche aux scores d’intelligence, Stevens aurait dû reconnaître qu’une échelle de scores n’est pas une échelle nominale des aspects des objets sur lesquels elle se fonde, puisque ces aspects sont décrits dans un ensemble de m-uplets (cf. 20a), que les scores ne permettent pas d’identifier de manière isomporphe (différentes façons de répondre à un test d’intelligence sont identifiées par un même score). Donc ce n’est pas une échelle ordinale parce qu’une échelle ordinale est (condition nécessaire) aussi une échelle nominale.

Les enjeux utilitaires (anthropocentrés) effacent le problème théorético-empirique de mesurage (parce que si l’intelligence était mesurable, ce serait une grandeur mesurable donc une grandeur et alors, la question de la plus petite quantité d’intelligence possible serait une question théoriquement non-négligeable) au profit d’un feu vert pour une convention à usage évaluatif qui permet, grâce à cet « élargissement » du sens du verbe « mesurer », d’emprunter le discours de la mesure.

Références

Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of measurement. Science, 103, 677-680.
Tafreshi, D., Slaney, K. L., & Neufeld, S. D. (2016). Quantification in psychology: Analysis of an unreflective practice. Journal of Theoretical and Philosophical Psychology, 36, 233-249.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "40a. Les échelles de mesure : lire Stevens (1946)", in Épistémologie de la psychologie, 12/07/2016, http://epistemo.hypotheses.org/3696.

  1. Je remercie Corentin Gonthier qui m’a suggéré ces précisions. []

38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique

Pour raisonner logiquement, respectons les règles de la logique. Ce billet présente les règles logiques de la négation, de la conjonction (et), de la disjonction (ou) et de l’implication avec des diagrammes et des tables de vérité.

Une proposition quelconque sera notée par une lettre majuscule. Soit A une proposition. Il faut distinguer deux intentions lorsqu’on articule des propositions : l’intention affirmative (A) et l’intention référentielle (A est une proposition)1. Lorsqu’on dit « A », on affirme A (on se positionne en acceptant le contenu de A). Lorsqu’on dit « A est une proposition », on affirme que A est une proposition, on se réfère à A sans se positionner sur A. On exclut aussi l’intention qui consiste à faire semblant d’affirmer (d’où la possibilité que l’application du logicien à formuler les problèmes de manière logique le fasse passer pour un naïf et, peut-être, la difficulté de faire de la politique de manière logique).

1. La négation (non-A, notée ¬A)

Logique non-ASoit A : quelque chose est un a. ¬A se lit : quelque chose n’est pas un a. Remplaçons quelque chose par x (cf. la figure ci-dessus ; tout ce qui est un a est mis dans l’ensemble a) : A est vraie et ¬A est fausse parce que x est un a. Remplaçons quelque chose par y, A est fausse et ¬A est vraie parce que y n’est pas un a.

Les valeurs de vérité de ¬A en fonction des valeurs de vérité de A sont représentées dans la table de vérité ci-dessous.

Table non-ALa ligne 1 se lit : si A est fausse (si on rejette A) alors ¬A est vraie (on accepte ¬A). Ou encore (voir 4), (A = 0) => (¬A = 1). La ligne 2 se lit : si A est vraie alors ¬A est fausse. Ou encore (voir 4), (A = 1) => (¬A = 0).

Exercice 1 : Montrer que ¬(¬A) = A — que la colonne A est identique à la colonne ¬(¬A).

Table non(nonA)

2. La conjonction (A et B, notée A ∧ B)

Logique A et B

Soit B : quelque chose est un b. A ∧ B est vraie pour x, fausse pour w, y et z.

Table A et BLa table de vérité ci-dessus représente la même information : si A est fausse et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est fausse et B vraie alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et si B vraie alors A ∧ B est vraie.

Exercice 2 : montrer que A ∧ (¬A) est fausse. (réponse : si A est vraie, ¬A est fausse ce qui correspond au cas w ; si A est fausse, ¬A est vraie ce qui correspond au cas y.)

3. La disjonction (A ou B, notée A ∨ B)

Logique A et BA ∨ B est fausse pour z, vraie pour w, x et y.

Table A ou B

Si A et B sont fausses alors A ∨ B est fausse, etc.

4. L’implication (A => B)

Logique A et B

A => B est fausse pour w, vraie pour x, y et z.

 Table A impl B

Si A et B sont fausses alors A => B est vraie (ce qui n’est pas intuitif), etc.

Exercice 3 (contraposée) : montrer que (A => B) = (¬B => ¬A) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬B => ¬A). (réponse : on déduit les valeurs de ¬B et de ¬A ligne par ligne en fonction des valeurs de A et de B ; ensuite on applique la définition de (A => B) à (¬B => ¬A) ligne par ligne ; enfin on constate que les colonnes sont identiques ; voir aussi Notturno, 2000))

Table ex3

Vocabulaire : A est une condition suffisante de B ; B est une condition nécessaire de A.

Exercice 4 : montrer que (A => B) = (¬A ∨ B) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬A ∨ B).

Table ex4

Exercice 5 (à partir de la tâche de sélection de Wason, 1968) : si une carte porte une voyelle d’un côté, alors elle porte un nombre impair de l’autre côté. On présente les quatre cartes E C 5 4. Quelles cartes faut-il retourner pour tester la règle ?  (réponse : le falsificateur de la règle est une carte « voyelle et pair » ; il faut donc retourner les cartes E et 4.)

Référence

Wason, P. C. (1968). Reasoning about a rule. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 20, 273-281.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique", in Épistémologie de la psychologie, 22/03/2016, http://epistemo.hypotheses.org/3470.

  1. Dans le premier cas, on utilise le langage comme un langage-objet tandis que dans le second, on utilise le langage comme un méta-langage, le langage qui permet de parler du langage-objet. []

36a. Comment lire une échelle analogique de douleur ?

Cet article approfondit l’analyse du concept de fonction de mesurage continue, introduite dans l’article 5a, qui utilise l’exemple d’une échelle analogique de douleur. Il s’agit de préciser l’incertitude théorique qui s’attache à l’interprétation des mesures lues sur l’échelle de mesure et d’en tirer les conséquences du point de vue psychologique.

1. Comparaison inter-individuelle

Considérons tout d’abord le graphique ci-dessous qui représente la fonction de mesurage de Paul et la fonction de mesurage de Julie (pour zoomer sur l’image, cliquer dessus ; on se place dans la situation où ces fonctions seraient connues). Tous deux, lors d’une mesure, indiquent sur l’échelle une valeur d’environ 7 cm. Qui des deux a le plus de douleur ?

36a1 Sauf quand leur douleur est nulle ou maximale, lorsque Paul et Julie indiquent l’intensité de leur douleur par une même mesure, la douleur de Julie est plus grande que la douleur de Paul (ce qui, en termes courants, signifie que Julie est plus résistante à la douleur que Paul). Ainsi, si on admet que les fonctions de mesurage sont propres aux personnes et que ces fonctions ne sont pas identifiées, on ne peut pas utiliser les mesures pour comparer les quantités mesurées chez les différentes personnes : chacun est son propre instrument de mesure et on ignore comment passer d’un instrument à un autre.

2. Comparaison intra-individuelle

Concentrons-nous à présent sur le mesurage de la douleur de Paul par sa fonction représentée ci-dessous et envisageons quatre états de sa douleur, q1 < q2 < q3 < q4, tels que q2 – q1 = q4 – q3 (les écarts sont les mêmes). Que disent les mesures ? On a bien F(q1) < F(q2) < F(q3) < F(q4), mais a-t-on

F(q2) – F(q1) = F(q4) – F(q3) ?

36a2Non : F(q2) – F(q1) > F(q4) – F(q3). En d’autres termes, la fonction de mesurage ne conserve pas l’unité de changement de la douleur, ou encore, la mesure n’est pas métrique mais seulement ordinale. Calculer une différence entre plusieurs mesures pour quantifier le changement de la douleur, c’est-à-dire connaître la quantité de changement de douleur, est une chose vaine (cf. Bachelard, 1938/1983). Les hauteurs lues sur l’échelle de douleur indiquent seulement le sens (positif ou négatif) du changement de la douleur.

D’où la question suivante : que faut-il pour que la différence entre deux mesures ait une signification quantitative, c’est-à-dire qu’on puisse référer à une unité de douleur ? En d’autres termes, que faut-il pour que le taux d’accroissement dy/dq soit une constante positive ? Il faut et il suffit que la fonction de mesurage soit une fonction affine, c’est-à-dire du type F(q) = aq + b, avec a > 0. En effet, quels que soient q1 et q2 distincts,

[F(q2) – F(q1)]/(q2q1) = a <=> F(q2)F(q1) = aq2 – aq1 <=> pour tout q F(q) = aq + b.

Les mesures obtenues par une fonction de mesurage affine conservent les intervalles de quantités de la grandeur mesurée, c’est pourquoi on les appelle des mesures d’intervalle (cf. 40a).

Enfin, les mesures sont-elles additives ? Autrement dit, quels que soient q1 et q2, a-t-on

F(q1) + F(q2) = F(q1 + q2) ?

Si F est linéaire, ie., F(q) = aq, ce qui correspond à ce qu’on appelle une échelle de ratio, F est additive : pour tous q1 et q2, F(q1 + q2) = a(q1 + q2) = aq1 + aq2 = F(q1) + F(q2).

Par exemple, les mesures de température effectuées à l’aide d’un thermomètre en degrés Celsius ne sont pas additives parce que b, dans l’équation de la fonction affine de mesurage, n’est pas nul (quand on lit 0°, la température n’est pas nulle).

Si F est additive et continue, elle est linéaire (preuve que m’a expliquée Julien Labetaa).

3. Conséquences

Si, lorsqu’on demande à quelqu’un d’indiquer l’intensité de sa douleur en utilisant une échelle de douleur, on veut interpréter ses réponses comme des mesures, il faut admettre que toute réponse dépend de la quantité de douleur instantanée via une fonction de mesurage, dont on ignore la nature. Si on veut considérer que la mesure effectuée est quantitative, il faut admettre que cette fonction est affine (échelle d’intervalle) ou linéaire (échelle de ratio). Toutes ces suppositions sont invraisemblables pour la raison suivante : la personne répond ce qu’elle veut parce que c’est une personne, au lieu de répondre de manière machinale comme un objet, ou encore, un système.

Par conséquent, au lieu de chercher à fonder son interprétation de la réponse sur des arguments psychométriques ou métrologiques peu plausibles, le psychologue devrait plutôt considérer cette réponse comme un acte de langage, qui implique l’intentionnalité des interlocuteurs plongés dans un champ de significations possibles. Si, par exemple, la personne énonce « 7 cm » hier et « 6 cm » aujourd’hui, il est possible qu’elle dise « j’ai un peu moins mal aujourd’hui qu’hier » dans le langage du clinicien qui la fait s’exprimer par déplacements du curseur de l’échelle. Mais il est impossible de déduire de ces énoncés qu’elle a objectivement moins mal, si on n’accepte pas la théorie du mesurage qui est la prémisse nécessaire d’une telle déduction — reformulation sans double négation : pour déduire de ces énoncés qu’elle a objectivement moins mal il faut accepter la théorie du mesurage de la douleur par les hauteurs du curseur de l’échelle analogique. La sagesse philosophique de Bachelard (1938/1983) peut être fort utile au psychologue :

Mesurer exactement un objet fuyant ou indéterminé, mesurer exactement un objet fixe et bien déterminé avec un instrument grossier, voilà deux types d’occupations vaines que rejette de prime abord la discipline scientifique. (p. 213)

Référence

Bachelard, G. (1983). La formation de l’esprit scientifique. Paris : Vrin. (Première édition en 1938)

33a. Dessine-moi une fonction

Des étudiants ont proposé les graphiques suivants en réponse à la question d’examen : Tracez une fonction de mesurage possible pour les réponses à un item de névrosisme avec un format de réponse en 7 niveaux. Lequel est correct ? Cherchez les erreurs. Pour grossir l’affichage de chaque graphique, cliquez dessus.

Graphique 1Gr1
1.1. Quel est l’ensemble des réponses observables ?
1.2. Quand la quantité de névrosisme est égale à A1, quelle est la réponse observée ?
1.3. Quand la quantité de névrosisme est égale à max, quelle est la réponse observée ?
1.4. Quel est l’ensemble des seuils de la fonction ?

Graphique 2 Gr2
2.1. La fonction est-elle monotone ?
2.2. Dans quel ensemble prend-elle ses valeurs (ensemble d’arrivée) ?
2.3. Dans quel ensemble est-elle définie (ensemble de départ) ?

Graphique 3Gr43.1. Quelle est la réponse lorsque la quantité de névrosisme est supérieure à C ?

Graphique 4Gr5

4.1. Que signifient les valeurs sur l’axe des ordonnées ?
4.2. Quelle est la réponse lorsque la quantité de névrosisme se trouve entre la première et la deuxième graduation de l’axe des abscisses ?

Graphique 5Gr6

5.1. Quelle est la réponse lorsque la quantité de névrosisme est dans [0, A1[ ?
5.2. Combien de réponses sont possibles ?

Graphique 6Gr7

6.1. Quelle est la réponse lorsque la quantité de névrosisme vaut B ?
6.2. Paul a répondu 3 il y a trois mois et 3 aujourd’hui : cela implique-t-il que sa quantité de névrosisme est la même aujourd’hui qu’il y a trois mois ?
6.3. Marie a répondu 3 il y a trois mois et 4 aujourd’hui : cela implique-t-il que sa quantité de névrosisme aujourd’hui est plus grande que sa quantité de névrosisme il y a trois mois ?

 

31a. Réflexions préliminaires sur le mesurage en psychologie

Les concepts illustrés sont la comparabilité de deux m-uplets et la testabilité de l’hypothèse que les données contenues dans les m-uplets sont des mesures de la même quantité de grandeur.

Situation 1. Les thermomètres et la température

Vous séjournez dans un chalet de montagne. Vous y avez trouvé trois thermomètres et vous les laissez dehors sur la table de la terrasse. Notons les thermomètres I1, I2 et I3.

Détails techniques. On admet que votre lecture du niveau du liquide sur l’échelle de graduation des thermomètres est correcte dans la limite de ±0,5 graduation. Ainsi, si vous indiquez x graduations, cela signifie que le niveau du liquide se trouve sûrement dans l’intervalle ]x−0,5 ; x+0,5[ (cf. 7a).

Q1.1. À 14 heures, vos relevés sont (28, 26, 30). Quelle est la graduation (approximative) lue sur le thermomètre I2 ?

Q1.2. Le lendemain à la même heure, vos relevés sont (30, 24, 31). Constatez-vous quelque chose d’anormal ? Si oui comment expliquer cela (les thermomètres n’ont pas changé de place) ? Comment tester votre explication ?

Q1.3. Pouvez-vous déduire de ces données comment la température sur la terrasse de ce chalet a évolué ?

Situation 2. Les pèse-bébés et le bébé

Vous avez un bébé, un pèse-bébé, et une amie qui a un pèse-bébé. Les pèse-bébés sont des balances numériques qui indiquent le poids en grammes.

Q2.1. Il y a un mois, vous aviez pesé votre bébé chez vous et chez votre amie ; les observations étaient (3222, 3226). Aujourd’hui, vous avez pesé votre bébé chez vous et chez votre amie et vos observations sont (3741, 3026). Constatez-vous quelque chose d’anormal ? Si oui comment expliquer cela ? Comment tester votre explication ?

Q2.2. Vous n’avez aucune information sur ce bébé. Pouvez-déduire des données qu’il a pris ou qu’il a perdu du poids ?

Situation 3. Les hauts et les bas du stress de Julie

Soient les items « Avant un partiel, vous n’avez plus d’appétit » et « Durant la nuit, la veille d’un événement que vous avez organisé, vous vous réveillez environ 4 fois », avec le format de réponse « 1 = totalement en désaccord, 2 = en désaccord, 3 = d’accord, 4 = tout à fait d’accord ». Deux étudiantes ont demandé à Julie de s’auto-évaluer à deux reprises et ont observé les réponses suivantes (cf. leur rapport de TD) : (3, 4) lors de la première passation et (4, 3) lors de la seconde passation.

Q3.1. Les réponses observées nécessitent-elle de tenir compte d’une approximation liée au format de réponse, c’est-à-dire au langage descriptif qui permet d’appréhender le stress des gens ?

Q3.2. Le stress de Julie a-t-il changé d’expression de la première à la seconde passation ?

Q3.3. Le stress de Julie a-t-il augmenté ou a-t-il diminué ?

Q3.4. Que conclure de ces données ? (voir 9a).

Situation 4. Les scores d’Odile et Paul à deux tests d’intelligence

Le calcul des scores est fondé sur des règles qui s’appliquent à des données multivariées qualitatives. Le score annoncé est le score calculé arrondi à l’unité.

Q4.1. Le score calculé vaut 116,5 points. Quel est le score annoncé ?

Q4.2. Si le score annoncé vaut 117 points, est-il possible que le score calculé soit égal à 116,4 points ?

Q4.3. Le score annoncé est 117 points. Encadrez le score calculé.

Les scores d’Odile et Paul à deux tests d’intelligence sont (113, 123) pour Odile et (116, 115) pour Paul.

Q4.4. Quel est le score de Paul au premier test d’intelligence ? Quel est le score de Paul au second test d’intelligence ?

Q4.5. Qui d’Odile ou Paul est le plus intelligent ?

Q4.6. Quelles garanties exigeriez-vous pour croire que les scores qu’on obtient en faisant passer un test d’intelligence mesurent l’intelligence des personnes qui ont passé ce test ?

Pour aller plus loin : Validité concourante, trompe-l’œil métrologique.

 

 

21a. Comparer des scores

Voici une question d’examen, la réponse d’un étudiant de L2 et mes commentaires de sa réponse.

Question. Soit un test de mémoire composé de 20 items cotés 0/1. Le score compte le nombre de réponses correctes (cotées 1). Julie a un score de 13 points et Paul a un score de 18 points. Peut-on en déduire que Paul a une meilleure performance que Julie ? Pourquoi ? (Attention au fait qu’un score n’est pas une performance, une performance étant un 20-uplet.)

Réponse de l’étudiant. Oui on peut déduire que Paul a une meilleure performance. Les scores de la performance sont concrets, observables et surtout mesurables.

Commentaire. Commençons par la réponse : « Oui on peut déduire que Paul a une meilleure performance ». Erreur… 🙁 Il faut faire attention à ce que déduire signifie. On peut déduire B de A si A implique B, ou, c’est la même idée, si B découle logiquement de A. Ici, la prémisse est « Julie a un score de 13 points et Paul a un score de 18 points ». Est-ce que cela implique que le 20-uplet sur lequel repose le score de Paul est supérieur au 20-uplet sur lequel repose le score de Julie?

Non, on sait (cf. 32a) que deux 20-uplets ne sont pas nécessairement comparables. Or, la connaissance des scores (13 et 18) ne permet pas de savoir quels sont les 20-uplets respectifs. On ne peut pas exclure que 13 agrège l’information de 11111111111110000000 et que 18 agrège l’information de 00111111111111111111 par exemple. Or ces 20-uplets sont incomparables.

Utilisons les notations de 11a. On a 13 = AX(Julie) et 18 = AX(Paul) (en négligeant l’ancrage temporel des personnes pour définir complètement les unités d’observation).

« AX(Julie) < AX(Paul) » n’implique pas « X(Julie) ≤ X(Paul) ».

L’erreur de raisonnement est possible grâce à la confusion conceptuelle entre score et performance. Un score n’est pas une performance, c’est un jugement de valeur à propos, ou encore, une hiérarchisation sociale — par opposition à une hiérarchie naturelle — de la performance.

Concernant la justification de la réponse, « les scores de la performance sont concrets, observables et surtout mesurables », il y a du travail à faire au niveau du maniement du français. On peut traduire « Les scores de la performance » par « les résultats du scorage de la performance, i.e., les X = AX ». Ces résultats sont-ils concrets ? Ce qui est concret, c’est la performance observée. Le score résulte de l’application d’une règle d’agrégation A de la performance X. Il est objectif en ce sens que deux psychologues qui partent de la même performance X et appliquent la même règle A obtiennent le même score X. Mais je ne sais pas en quoi ce score est concret ; c’est un symbole communicable. Il est observable une fois qu’il est écrit sur une feuille de papier par exemple, mais cette remarque n’est pas pertinente ici. Ce qui est pertinent, c’est qu’il ne représente pas complètement la performance X.

Dernier élément de la justification de la réponse : « Les scores sont mesurables ». Non. Ce qui est mesurable, c’est une grandeur qui, par définition, est une possibilité théorique non observable. Les scores peuvent éventuellement être considérés comme des mesures, c’est-à-dire, comme des mesurants, mais pas comme des mesurés (dans le même sens qu’on distingue signifiant et signifié en linguistique). Ce qui est mesurable, c’est le mesuré, pas le mesurant.

5a. Mesurer avec les réponses à un item : fonctions de mesurage

Comment les réponses à un item de test psychologique (plus proprement, psychotechnique) pourraient-elles mesurer une quantité de grandeur ?

1. Format de réponse : discret vs. continu

Précisons tout d’abord la notion de format de réponse. La réponse à un item psychotechnique a deux formats possibles : soit la réponse varie dans un ensemble discret, soit elle varie dans un ensemble continu.

Par exemple, si on décrit la réponse à l’item

23 + 9 = ?

comme correcte ou incorrecte, le format est discret. Si on demande à un patient d’indiquer (ce qu’on appelle) l’intensité de sa douleur sur l’échelle (dite analogique) ci-dessous,

eva_reglette

le format est continu : la réponse est décrite comme la distance qui sépare l’origine (0) du curseur de la réglette (source de l’image : SFETD).

2. Fonction de mesurage

Dans les deux cas, le problème est : comment la réponse dépend-elle de la quantité qu’on veut mesurer ? Appelons capacité de calcul mental la grandeur qui a inspiré l’item de calcul mental. Une réponse correcte à l’item de calcul mental indique une capacité plus grande que la capacité indiquée par une réponse incorrecte ; sur l’échelle analogique de douleur, plus le curseur se déplace vers la gauche (quand on regarde la « face de mesure »), plus la douleur augmente. La relation « plus une quantité augmente, plus autre chose, qui en dépend et qui se voit, augmente », peut être formalisée par le concept mathématique de fonction.

Le format continu est peut-être plus intuitif pour saisir cette notion de fonction de mesurage. Qu’est-ce qui permet de dire que plus le curseur se déplace vers le 10, plus la douleur augmente ? C’est l’hypothèse que le positionnement du curseur par le patient dépend de la quantité de sa douleur : à tout point de [0, max], c’est-à-dire à toute quantité de douleur, correspond un et un seul point de [0 cm, 10 cm], c’est-à-dire du segment dans lequel varie le curseur.

On peut alors, par un petit effort de visualisation, considérer une courbe, représentative de la fonction de mesurage (voir 36a). La fonction est définie dans le segment [0, max] (ensemble de départ), où 0 correspond à « aucune douleur » et max correspond à la douleur maximale qui puisse exister ; elle prend ses valeurs dans le segment [0 cm, 10 cm] (ensemble d’arrivée). Cette fonction est croissante, c’est-à-dire que si on fait augmenter la douleur, on fait augmenter la distance du curseur. En langage mathématique,

q1 > q2 => F(q1) > F(q2),

q1, q2 désignent des quantités de douleur et F désigne la fonction qui détermine les distances correspondantes.

On ne connaît pas cette fonction et on a l’embarras du choix. On peut imaginer une courbe rectiligne, concave, ou encore convexe comme le montre la figure ci-dessous.

36a2

On ignore si une quantité d’augmentation donnée a les mêmes répercussions empiriques (i.e., observables sur la position du curseur) selon que cette augmentation survient quand la douleur est petite, moyenne, ou grande. Ainsi par exemple, on ignore si la variation de douleur qui correspond à la variation du curseur quand il passe de 1 à 2 cm est la même que la variation de douleur qui correspond à la variation du curseur quand il passe de 8 à 9 cm. On ignore si le patient qui signale 4 cm a deux fois plus mal que lorsqu’il signale 2 cm.

Le centimètre est une unité de longueur ; on admet que la longueur mesurée mesure une quantité de douleur, d’une manière ordinale (c’est-à-dire qu’on parle le langage du « plus ou moins »). Tant qu’on n’a pas trouvé quelle est la fonction dont on suppose l’existence pour tel ou tel patient, on ne pourra pas mesurer sa douleur de manière métrique (i.e., en se fondant sur une unité de douleur).

Récapitulons : qu’une échelle de douleur mesure la douleur signifie qu’on admet que la distance du curseur dépend de manière croissante de la quantité de douleur. Cette dépendance (ou relation causale) est conceptualisée par une fonction dont on ignore la nature exacte. J’appelle cette fonction une fonction de mesurage (ou encore de liaison). Notre ignorance scientifique implique que la mesure de la douleur, si tant est qu’elle soit plausible, n’est pas métrique mais ordinale. Ce n’est pas parce que le format de réponse a une métrique que le mesurage de la quantité psychologique qui nous intéresse est un mesurage métrique. Pour approfondir ce point, voir 36a.

Exercice non corrigé (pour voir les réponses antérieures saisissez votre réponse)

Revenons à l’item de calcul mental : quelle fonction relie la capacité de calcul mental à l’ensemble {incorrecte, correcte} ? Cette fois-ci, l’ensemble d’arrivée est un ensemble discret. Nous partons de l’idée qu’une réponse correcte indique une capacité supérieure. La seule façon de spécifier la fonction de mesurage de cet item est, encore une fois, de faire appel à une fonction croissante. Il faut que

q1 > q2 => F(q1) ≥ F(q2),

q1, q2 désignent des quantités de capacité et f désigne la fonction qui détermine les réponses correspondantes. On est obligé d’utiliser le signe « ≥ » parce que le nombre de réponses possibles est inférieur au nombre de quantités possibles. La fonction est croissante, mais pas strictement.

La courbe représentative de la fonction est un « escalier » à deux paliers, séparés par un seuil dont on ignore la valeur. Le graphique ci-dessous montre à quoi cela ressemble (pour une généralisation à k>2 réponses possibles, voir l’exercice 33a).

Paliers

Ainsi, les réponses à l’item désignent non pas des quantités de capacité, mais des intervalles de quantités de capacité — les réponses 0 et 1 désignent respectivement les intervalles [0, A[ et [A, max]. C’est pourquoi le codage numérique des réponses en 0/1 peut faire illusion : ces nombres ne sont pas des quantités mais des nombres ordinaux. L’addition, la soustraction, la multiplication et la division ne sont pas définies sur ces nombres.

La pratique courante consiste à compter le nombre de réponses correctes, mais ce comptage n’est pas une mesure de la capacité, c’est le comptage du nombre de réponses correctes (prises comme unité de compte). La question de savoir comment ce comptage pourrait mesurer une grandeur psychologique reste entière.

3. Activités proposées autour de cet article

3.1. Tracez une fonction de mesurage de la douleur telle qu’une augmentation donnée quand la douleur est petite « se voit plus » sur l’échelle de douleur que lorsque la douleur est déjà forte.

3.2. Considérez un thermomètre domestique. La valeur 0° indique-t-elle l’absence de température ? La température mesurée dans une pièce passe de 5 à 10° : a-t-elle doublé ? Tracez la fonction de mesurage invoquée pour interpréter les observations.

3.3. Considérez un pèse-bébé (une balance qui est graduée en grammes). La valeur 0 g indique-t-elle l’absence de masse sur la balance ? La masse mesurée sur la balance passe de 5 à 10 g lorsqu’on ajoute un puis deux objets : a-t-elle doublé ? Tracez la fonction de mesurage invoquée pour interpréter les observations.

3.4. Voir 33a et 36a.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "5a. Mesurer avec les réponses à un item : fonctions de mesurage", in Épistémologie de la psychologie, 17/04/2014, http://epistemo.hypotheses.org/555.