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20a. Les m-uplets et leur dénombrement

Pour réfléchir aux problèmes de description objective, dont le mesurage est une des formes possibles, il faut pouvoir manipuler quelques abstractions élémentaires.

1. Les m-uplets

Un test de m items permet d’observer un m-uplet de réponses. Quand vous lisez le mot m-uplet, visualisez quelque chose comme ceci :

(¤, ¤, ¤, …, ¤),

où le symbole « ¤ » désigne une place vide. Un m-uplet est une liste de m places numérotées, peu importe qu’elles soient vides ou remplies. La place n° 1 désigne la réponse à l’item n° 1, la place n° 2 désigne la réponse à l’item n° 2 et ainsi de suite jusqu’à la dernière place, la n° m. Une place vide signifie qu’on ne connaît pas la valeur de la réponse mais que cette réponse est possible.

Notation. On peut noter x = (x1, x2, …, xm) un m-uplet, où les indices i = 1, 2, …, m désignent des rangs (notion d’ordre).

La réponse au test est par définition un m-uplet de réponses aux m items du test. Pour habituer votre esprit à cet objet, vous pouvez jouer avec la valeur de m. Si le test comporte 20 items, la réponse au test est un 20-uplet (ce qui entraîne qu’il faut 20 places pour l’écrire). Si le test comporte 5 items, la réponse au test est un 5-uplet, etc.

2. Le nombre de m-uplets possibles

Quand on s’intéresse à un test, il faut pouvoir conceptualiser l’ensemble dans lequel se trouvent les observations qu’on peut faire. C’est l’ensemble de toutes les réponses possibles, autrement dit l’ensemble de tous les m-uplets possibles.

Beaucoup de gens, y compris des gens qui enseignent ou font de la recherche en psychologie, n’ont pas d’idée claire de ce qu’est un tel ensemble, ce qui est préjudiciable à leur réflexion parce que cet ensemble est une réalité logique fondamentale. On ne peut raisonner clairement si on ne sait pas sur quoi on raisonne, et, si la psychologie est une science empirique, c’est qu’on utilise une technique descriptive, de telle sorte qu’on raisonne sur l’ensemble des m-uplets possibles associés à cette technique descriptive (voir aussi l’article n° 18a).

Commençons par le cas le plus simple, un test à un item. Puisqu’on considère les réponses à un seul item, on cherche à se représenter (se faire une image de) l’ensemble de tous les 1-uplets possibles. Ici se trouve une chausse-trappe : on parle de 1-uplets, on retient le « 1 » dans sa tête et on déduit à tord qu’il y a un 1-uplet possible. Il faut savoir de quoi dépend le nombre de 1-uplets possibles. Le nombre de 1-uplets possibles est le nombre de réponses possible à cet item.

Si l’item est par exemple l’échelle analogique de douleur, il existe une infinité de points dans le segment [0 cm, 10 cm]. Donc il existe une infinité de 1-uplets possibles. Si l’item a deux réponses possibles (par exemple, l’item de calcul mental dont les réponses sont « incorrect » ou « correct »), il existe deux 1-uplets possibles. Si l’item est défini par k réponses possibles, il y a k 1-uplets possibles. Le nombre de m-uplets possibles n’est pas m.

Maintenant, considérons un test à deux items. On s’intéresse à l’ensemble des 2-uplets possibles. Ici, il faut combiner les réponses possibles au premier item avec les réponses possibles au second item. Le premier item a k1 réponses possibles et le second item a k2 réponses possibles. On procède de la manière suivante : on considère la première réponse possible au premier item, puis on considère les k2 réponses possibles au second item. On a donc k2 2-uplets possibles qui commencent par la première réponse au premier item. On passe ensuite à la seconde réponse possible au premier item, ce qui donne à nouveau k2 2-uplets possibles, qui commencent par la seconde réponse au premier item. On a donc 2 × k2 2-uplets possibles. On continue ainsi jusqu’à la k1ième réponse au premier item, ce qui donne k1 × k2 2-uplets possibles.

Généralisons : on considère un test de m items à  k1, k2, …, km réponses, respectivement. On a donc

k1 × k2 × … × km

m-uplets possibles.

Cas particulier : soit un test de m items à k modalités de réponse. On a k × k × … × k = km m-uplets possibles. Par exemple, un test de 20 items binaires génère un ensemble de 220 20-uplets possibles. Une seconde chausse-trappe mérite d’être signalée car beaucoup de gens s’y font piéger : le nombre de 20-uplets possibles n’est pas 202 !

Exercice non corrigé

Cite this article as: Stéphane Vautier, "20a. Les m-uplets et leur dénombrement", in Épistémologie de la psychologie, 21/06/2014, http://epistemo.hypotheses.org/1608.

10a. Comment Dickes et al. présentent la mesure en psychologie

Dans leur ouvrage « La psychométrie : théories et méthodes de la mesure en psychologie  » (1994), Paul Dickes, Jocelyne Tournois, André Flieller et Jean-Luc Kop tentent une présentation orthodoxe des « théories et méthodes de la mesure en psychologie ». Par « orthodoxe », j’entends « qui ne conteste pas l’idée qu’on sache mesurer en psychologie ».

Si on croit qu’on ne sait mesurer aucune grandeur psychologique avec des réponses à des items de test (au sens de la définition donnée dans 3a), lire cet ouvrage revient à assister à une tentative de sauvetage du préjugé qu’on sait mesurer en psychologie. On a parfois l’impression que les auteurs eux-mêmes sont pris de doute (par exemple, ils citent, p. 23, Maurice Reuchlin remarquant en 1962 que « si l’on admet à la fois la formulation axiomatique utilisée par Campbell et le caractère nécessairement univoque de l’attribution des nombres aux choses mesurées, on peut montrer que les grandeurs psychologiques n’ont jamais encore été mesurées » et, p. 30, Clyde Coombs qui « soutient même que le comportement est fondamentalement un ordre partiel »), mais ils ne franchissent pas le Rubicon.

Pour rester orthodoxes, les auteurs confondent mesurage et scorage (ou agrégation numérique) : mesurer, c’est noter1. Pour pouvoir soutenir qu’on sait mesurer en psychologie, il faut faire admettre que mesurer, c’est appliquer une méthode de transformation de données en nombres. Mais les auteurs n’envisagent pas que certaines connaissances — des faits falsifiants — puissent empêcher cette transformation, de telle sorte qu’on soit contraint de conclure que dans telle ou telle situation, on ne sait pas mesurer — ce qui ne veut pas dire qu’on ne sache pas noter malgré tout.

Ici gît ce qui me paraît une entorse majeure à l’esprit scientifique. Faire de la science, c’est accepter le verdict des faits empiriques contre notre désir de réduire le réel à nos propres catégories cognitives — contre nos théories, notre vision du monde. L’orthodoxie psychométrique procède moins du désir de connaître, indissociable de notre tolérance à l’ignorance (connaître quelque chose, c’est reconnaître qu’on ignore autre chose), que du désir d’évaluer. Le désir d’évaluer fonctionne comme un impératif catégorique dans le champ social : il faut pouvoir évaluer. Parfois, l’évaluation est une exigence d’efficacité vitale — cette proie, ce prédateur, sont-ils plus forts que moi ? Si le contexte social conduit à la nécessité sociale d’évaluer des personnes, alors le problème n’est pas de déterminer ce en quoi consiste cette nécessité, mais de savoir comment le faire (voir l’exemple de l’échelle métrique de l’intelligence de Binet et Simon). Autrement dit, pas question de ne pas évaluer. Or, évaluer, c’est parler le langage du « plus ou moins ».

D’un autre côté, transformer des données en nombres sans clause d’impossibilité logico-empirique, c’est exactement de la numérologie :

 pour que les faits empiriques te disent ce que tu veux savoir, tu les exprimeras en nombres.

D’où un problème de légitimation. Si la légitimation consiste en la satisfaction du critère de scientificité de la psychotechnique, on débouche sur le problème poppérien de la démarcation entre science et non-science (voir Popper, 1973). Cette numérologie revêt une allure de scientificité grâce à la modélisation statistique et à une forme de contrôle de la modélisation par les faits empiriques — pour préserver l’empirisme nécessaire à toute science qui se dit empirique. Mais ce contrôle, lorsqu’il procède effectivement du test d’une hypothèse, porte sur des phénomènes qui se manifestent à une échelle qui n’a rien à voir avec l’échelle de la personne individuelle. L’agrégation s’applique cette fois, non pas à des  symboles (la numérologie), mais à des personnes. Les échantillons résultants sont alors supposés provenir de populations statistiques (qui ne sont pas équivalentes à des populations démographiques — voir aussi 15a). Par exemple, la théorie factorielle de l’intelligence a pour objet des matrices de corrélations qui ne décrivent personne en particulier ni quiconque en général.

Si on sait mesurer, on sait mettre en nombres de manière scientifique. Si on parle le langage des nombres, on sait parler le langage du « plus ou moins ». Ce langage a une utilité évaluative. Mais ce raisonnement n’est pas réversible : mettre en nombres, ce n’est pas nécessairement mesurer si par mesurer, on entend profiter de ce que les phénomènes qu’on sait décrire soient quantitatifs (i.e., obéissent aux axiomes de la quantité). Il se peut que les phénomènes psychotechniques, c’est-à-dire les phénomènes qu’on sait décrire avec des tests, ne soient pas quantitatifs. Dès lors, franchir le Rubicon, i.e., affirmer qu’on ne sait pas mesurer avec des réponses à des items de tests, c’est dire à certains acteurs du champ social, concernés par l’évaluation des personnes, que la psychotechnique est une psychonumérologie, ou encore qu’on ne sait pas soutenir sur des bases scientifiques que la mise en nombres psychotechnique (ou psychométrique) soit fondée sur des lois naturelles quantitatives. D’où un vide non pas technique, mais scientifique. Franchir le Rubicon, c’est ôter aux descriptions que l’évaluateur impose aux êtres pour les classer dans ses espaces d’évaluation leur caractère naturel (voir la critique de l’échelle métrique de l’intelligence de Binet et Simon).

En ne franchissant pas le Rubicon, on évite de heurter la (toute-)puissance de l’évaluateur. On  institue la validation des tests comme un problème d’experts, l’essentiel étant qu’on dispose (1) de techniques de description numérique, qui constituent dès lors un arsenal scientifiquement légitime pour l’évaluation, et (2) d’une cohorte d’agents psychotechniques pour sa mise en œuvre. Bien entendu, ce tableau présente une tournure idéologique : qui est « on » ? Disons, pour le moment, que cette figure de rhétorique est provisoire et qu’elle permet de ne pas tout développer à la fois (mais voir 19a). Les processus d’institutionnalisation ou de formation de paradigmes relèvent d’une analyse qui permette de montrer comment les comportements individuels se coordonnent sans l’intervention d’un « on » personnalisé2.

Le problème pour le psychologue lambda à qui il revient de mettre en nombres les personnes via ce qu’il connaît d’elles à travers leurs réponses aux tests, c’est qu’il ne jouit pas de l’expertise psychométrique. Il participe de la reconnaissance collective de l’expertise des psychométriciens par défaut (il n’en cerne pas les limites). Autrement dit, il doit se débrouiller pour faire croire dans son champ social particulier que ses nombres valent quelque chose parce que, d’une certaine manière, il en vit, quand bien même il ne sait pas les justifier lui-même du point de vue scientifique. Et il n’a pas intérêt à souligner qu’il ne sait pas le faire parce qu’alors il soulignerait son manque d’expertise, lequel, dans un contexte de concurrence exacerbée sur le marché du travail, le désignerait comme adversaire fragile (facile à éliminer). C’est ici que les remarques générales de Jean-Paul Allouche dans sa tribune prennent une pertinence particulière pour les psychologues.

Références

Allouche, J.-P. (2014). Connaître n’est pas mesurer. Le Monde, 29 janvier.

Dickes, P., Tournois, J., Flieller, A., & Kop, J.-L. (1994). La psychométrie. Paris: Presses Universitaires de France.

Popper, K. R. (1973). La logique de la découverte scientifique. Paris: Payot.

  1. Pour une distinction formelle, voir 11a. []
  2. Par exemple, comment acceptons-nous le prix des choses alors que personne en particulier ne nous l’impose ? Comment les journalistes acceptent-ils de ne pas poser certaines questions, comme par exemple, qui fabrique l’argent et décide de sa mise en circulation, alors que personne en particulier ne le leur interdit ? []