46a. Quelques notions mathématiques utiles en psychologie

Ce billet signale quelques notions (objets) mathématiques qui me semblent utiles (pour ne pas dire indispensables) si on veut aborder efficacement les problèmes tant théoriques que méthodologiques en psychologie dès la première année. L’objet le plus important est la relation binaire, qui est fabriquée avec les objets ensemble et élément. Les autres objets sont des propriétés de ces trois objets, ou des propriétés de ces propriétés. Pour compléter le tableau, il faut aussi mentionner les processus de dénombrement (voir 20a) et de l’implication logique (voir 38a). La présentation est volontairement non-systématique pour faciliter la saisie intuitive des notions.

1. Ensemble et éléments

Un ensemble est une collection d’éléments distincts qui possèdent une propriété commune. Un cas limite est l’ensemble vide.

Le cardinal d’un ensemble est le nombre de ses éléments (le cardinal est une propriété d’un ensemble).

2. Relation binaire

Une relation binaire est un ensemble de liens qui relient les éléments d’un ensemble de départ aux éléments d’un ensemble d’arrivée.

Le graphe d’une relation binaire est l’ensemble de tous les couples ainsi formés (liens de la relation).

3. Produit cartésien de plusieurs ensembles et m-uplets

Un ensemble peut être le produit cartésien de plusieurs ensembles (être un produit cartésien est une propriété d’un ensemble). On forme le produit cartésien de plusieurs ensembles en combinant tous les éléments du premier ensemble avec tous les éléments du second ensemble etc. (dénombrement).

Considérons une relation binaire de D dans A. Son graphe est un sous-ensemble de D × A, le produit cartésien de D et A.

Les éléments d’un produit cartésien sont des m-uplets, où m est le nombre d’ensembles qu’on combine (être un m-uplet est la propriété d’un élément).

4. Fonction ou application

Une fonction ou une application1 est une relation binaire telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule image (i.e., est relié à un et un seul élément dans l’ensemble d’arrivée). Être une fonction ou une application est une propriété d’une relation binaire.

Exemple : une variable statistique est une application de la population statistique dans l’ensemble des modalités de la variable.

5. Relation d’ordre

Une relation d’ordre est (la propriété d’)une relation binaire dont l’ensemble d’arrivée et l’ensemble de départ sont le même ensemble — on dit alors qu’une relation d’ordre est définie sur, ou encore ordonne un ensemble. On note xy la relation de x à y, où « ≤ » peut se lire « plus petit ou égal à ».

Une relation d’ordre a les propriétés de réflexivité, d’antisymétrie et de transitivité (voir l’article Relation d’ordre sur Wikipédia). En gros une relation d’ordre ≤ sur un ensemble établit que l’ordre des éléments x et y dans l’expression xy compte (a un sens).

Une relation d’ordre peut avoir la propriété d’ordre simple (ou total, complet, connecté), c’est-à-dire que deux éléments quelconques de l’ensemble ordonné sont ordonnés (par exemple, l’ensemble des nombres naturels est simplement ordonné).

Le produit cartésien formé par des ensembles simplement ordonnés est ordonné par la relation d’ordre dite « produit direct » qui permet de définir la comparabilité de deux m-uplets (voir 32a), mais il n’est pas simplement ordonné. On dira que cet ensemble est un ordre partiel au sens restrictif du terme (i.e., il existe au moins deux éléments incomparables, c’est-à-dire qui ne peuvent pas être ordonnés l’un à l’autre)2.

6. Fonction croissante

Une fonction F de D dans A est croissante si quels que soient x et x‘ de D, x < x‘ => F(x) ≤ F(x‘). Je soutiens que la mesurabilité de quantités dans un ensemble Q par des observations dans un ensemble O implique l’existence d’une fonction croissante de Q dans O (voir 3a).

  1. On néglige ici la différence entre fonction et application. []
  2. Tout ordre étant par définition un ordre partiel, dire qu’un ensemble est un ordre partiel pour dire qu’il est un ordre non-simple constitue un abus de langage qu’on corrige aisément en ajoutant « au sens restrictif du terme ». []

Karl Popper on falsification of probabilistic statements

If in ten throws [of a die] I obtain « 1 » six times, then I will conjecture that something is wrong with the probability prediction [P(1) = 1/6]; if, say, in the very next five throws I get « 1 » two of three times again, I will be convinced that the prediction (for this case), and with its specific assumptions, are falsified: I will try to change the assumptions. Initially, I will not change the natural laws but assume that certain other assumptions were false. Above all, I will examine whether the die is not « loaded » (whether the centre of gravity of this die is at its geometric centre, etc.). (p. 152)

Popper, K. (2012). The two fundamental problems of the theory of knowledge. London: Routledge Classics. (Originally published 1978)

Arnaud Dumouch sur dialectique versus coopération

Si j’entre dans une pensée dialectique, ça veut dire si, d’un côté, celui qui parle de l’esthétique — elle est jolie cette noix —, se met à mépriser le physicien qui dit « elle pèse tant de grammes », et bien en fait, c’est une pensée immature. Les deux approches donnent quelque chose de réel à la noix. Elles n’ont pas à se mépriser, elles ne se rejoignent que sur une seule donnée, c’est la même réalité qu’elles observent. (11:39)

Dumouch, A. (2012, 3 juillet). Annexe critique 2 : qu’est-ce que l’épistémologie ?

Karl Popper on knowledge and natural laws

We must search for natural laws, for law-like regularities, if we want to obtain any knowledge at all. But this does not in any way require us to assume the existence of strictly universal laws; il is enough for us to know that knowledge consists in searching for strictly universal laws — as if they existed. (p. 85)

Popper, K. (2012). The two fundamental problems of the theory of knowledge. London: Routledge Classics. (Originally published 1978)

Sigmund Freud on inhibition and anxiety

Many inhibitions are an obvious renunciation of function, because the exercice of the function would give rise to anxiety. (p. 12)

Freud, S. (1936). The problem of anxiety. New York: The Psychoanalytic Quarterly Press and W. W. Norton. (Original published 1926 as Hemmung, Symptom und Angst)

Charles Darwin sur l’ignorance

Notre sujet présent est très obscur, et, en raison de son importance, il doit être examiné assez longuement ; car il est toujours sage de percevoir clairement notre ignorance. (p. 92)

Darwin, C. (2001). L’expression des émotions chez l’homme et les animaux. Paris : Éditions Payot & Rivages. (Première édition publiée en anglais en 1872)

Voir aussi Popper (1969/1979).

Hans Albert sur science et besoin de stabilité du comportement

Que l’anticipation méthodique de régularités possibles réponde aux « besoins élémentaires de stabilité du comportement », c’est sans aucun doute exact. Cependant, on peut dire la même chose au sujet des conceptions mythiques, religieuses et métaphysiques de toutes sortes et, en général, au sujet de tout système qui donne une orientation au monde. Or, la science n’est possible, précisément, que là où il existe un domaine social dans lequel l’intérêt de connaissance s’émancipe de pareils besoins élémentaires. (p. 199)

Albert, H. (1979). Dans le dos du positivisme ? Les détours de la dialectique sous les lumières de la critique. In T. Adorno & K. Popper (Eds). De Vienne à Francfort : la querelle allemande des sciences sociales (pp. 191-212). Bruxelles : Editions Complexe. (Original publié en allemand, 1969)

Voir aussi Duhem (1906/2007), Michell (1997).

Françoise Parot sur le mot et la chose

… le mot crée la chose, et que chacun en parle et voilà le psychique suggéré par l’échange qui devient une chose. (p. 54)

Parot, F. (2017). La psychologie française dans l’impasse : du positivisme de Piéron au personnalisme de Fraisse. Paris : Editions Matériologiques.

Joel Michell on quantitative psychology

… when the early quantitative psychologists claimed to measure, they used the term ‘measurement’ for political reasons, not for scientific reasons. They presented psychology as a quantitative science. The secondary gain was admission into the scientific community. When psychometricians claim to be able to measure, they used the term ‘measurement’ not just for political reasons but also for commercial ones. Again, there was no valid scientific reason. Psychometrics were presented as an applied, quantitative science. The secondary gain was the package of economic and social rewards reserved by society for applied scientists. Later, in order to preserve these gains, both the science and the profession adopted the operationist conception of quantification because it disguided this lack of scientific reasons. In the socio-historical context in which psychometrics developed, the economic, social and political costs of abandoning the rhetoric of measurement outweighted the scientific costs of abandoning the method of critical inquiry. (p. 660)

Michell, J. (2000). Normal science, pathological science and psychometrics. Theory & Psychology, 10, 639-667.

 

Don Miguel Ruiz sur la vérité

Il est extrêmement difficile de voir la vérité ; ce qui est plus facile, c’est de voir ce qui n’est pas la vérité. (p. 142)

Ruiz, D. M., & Mills, J. (2010). Pratique de la voie toltèque : maîtrisez le rêve de votre vie. Saint-Julien en Genevoix : Editions Jouvence. (Original publié en 2000)

Gaston Bachelard sur l’erreur rectifiée

D’ailleurs, l’expérience immédiate et usuelle garde toujours une sorte de caractère tautologique, elle se développe dans le règne des mots et des définitions ; elle manque précisément de cette perspective d’erreurs rectifiées qui caractérise, à notre avis, la pensée scientifique. (p. 10)

Toutes les fois que nous l’avons pu, nous avons indiqué par de brèves remarques comment, d’après nous, l’esprit scientifique triomphait des divers obstacles épistémologiques, et comment l’esprit scientifique se constituait comme un ensemble d’erreurs rectifiées. (p. 239)

Bacherard, G. (1983). La formation de l’esprit scientifique. Paris : Vrin. (Première édition en 1938)

Voir aussi Granger (1967/2016).

Les trois mondes de Karl Popper

Dans cette philosophie pluraliste, le monde est constitué d’au moins trois sous-mondes ontologiquement distincts ; ou, dirais-je, il y a trois mondes : le premier est le monde physique, ou le monde des états physiques ; le second est le monde mental, ou le monde des états mentaux ; et le troisième est le monde des intelligibles, ou des idées au sens objectif ; c’est le monde des objets de pensée possibles : le monde des théories en elles-mêmes et de leurs relations logiques ; des argumentations en elles-mêmes ; et des situations de problèmes en elles-mêmes. (p. 247)

Popper, K. (1991). Sur la théorie de l’esprit objectif. In K. Popper (Ed.), La connaissance objective (pp. 245-293). Paris : Aubier. (Première version 1968)

Philip Kitcher on reliance on authority

Reliance on authority affects the cognitive lifes of scientists in at least three ways. First, there is the general epistemic dependence on the past that permeates everyone’s early intellectual ontogeny. We absorb the lore of our predecessors through the teaching of parents and other authorities. Second, at the time of entry into the scientific community, fledgling scientists endorse a community-wide conception of legitimate epistemic authority. Certain people are to be trusted to decide on certain issues and the novice must accept whatever agreements they reach on those issues. Third, during the course of individual research, scientists interact with one another, collaborating and competing, adopting the claims made by some of their colleagues, investigating the proposals of others, when the claims and proposals in question go beyond what is agreed upon by the pertinent community. There are different assignments of authority within the scientific community, and these may shape the course of the members’ research. (p. 245)

Kitcher, P. (1992). Authority, deference, and the role of individual reason. In E. McMullin (Ed.), The social dimensions of Science (pp. 244-271). Notre Dame (Indiana): University of Notre Dame Press.

Différence entre jugements analytique et synthétique par Emmanuel Kant

Dans tous les jugements où est pensé le rapport d’un sujet à un prédicat …, ce rapport est possible de deux manières. Ou bien le prédicat B appartient au sujet A comme quelque chose déjà contenu (implicitement) dans ce concept A ; ou bien B, quoique lié à ce concept A, est entièrement en dehors de lui. Dans le premier cas je nomme le jugement analytique ; je l’appelle synthétique dans le second. (p. 63)

Kant, E. (1987). Critique de la raison pure. Paris : Flammarion. (Original publié en 1781)