Archives par étiquette : approximation

Karl Popper on error and precision in measurement

In physical measurements, for instance, we always care to consider the range within which there may be an error; and precision does not consist in trying to reduce this range to nothing, or in pretending that there is no such range, but rather in its explicit recognition. (p. 235)

Popper, K. (2013). The open society and its enemies. Princeton, NJ: Princeton University Press (Original published 1945 in two volumes).

Voir aussi Bachelard (1938/1983).

30a. Mesurage fonctionnel : tester le modèle additif

Cet article présente le modèle additif du mesurage fonctionnel (functional measurement) proposé par Norman H. Anderson (e.g., 2001). Dans la perspective falsificationniste que nous adoptons, l’intérêt majeur de ce modèle de mesurage est qu’il est testable à l’échelle d’une personne.

1. Mesurer l’appréciation subjective d’une situation multi-critère

Le schéma ci-dessous (source) permet de visualiser le processus de mesurage. La grandeur mesurée, r sur le schéma, est une appréciation subjective (par exemple, l’acceptabilité de telle punition dans telle situation). Le mesurant de la grandeur r est la réponse R (par exemple, la distance qui sépare la marque de la personne de l’origine de l’échelle visuelle analogique qu’elle utilise).

450px-Information-integration.svg

La quantité de grandeur r est définie comme la somme des quantités sA, sB, …, sZ (intégration additive). Ces quantités sont des valeurs attribuées aux aspects (critères) SA, SB, …, SZ de la situation. La fonction de mesurage reliant R à r est une fonction affine positive :

R = a + br, b > 0, ou encore r = (R – a)/b.

Contrairement au mesurage d’une grandeur psychologique par une réponse multivariée qualitative, où la grandeur n’est pas analysée (cf. 11a), le mesurage fonctionnel de l’appréciation subjective repose sur la décomposition additive de la grandeur (appréciation) et sur une réponse quantitative univariée (R comme distance sur une échelle visuelle analogique).

2. Tester le modèle à l’échelle de la personne qui produit les appréciations

Tout repose sur la supposition selon laquelle l’appréciation r intègre additivement les valeurs données à un certain nombre de critères. Considérons une situation à deux critères dichotomiques SA et SB (SA = 0 ou 1, SB = 0 ou 1). Notons les valeurs correspondantes sA=0, sA=1, sB=0 et sB=1. On a donc :

  • rA=0 et B=0 = sA=0 + sB=0,
  • rA=0 et B=1 = sA=0 + sB=1,
  • rA=1 et B=0 = sA=1 + sB=0,
  • rA=1 et B=1 = sA=1 + sB=1.

En remplaçant dans l’équation de mesurage, on obtient :

  1. rA=0 et B=0 = sA=0 + sB=0 = (RA=0 et B=0 a)/b,
  2. rA=0 et B=1 = sA=0 + sB=1 = (RA=0 et B=1 a)/b,
  3. rA=1 et B=0 = sA=1 + sB=0 = (RA=1 et B=0 a)/b,
  4. rA=1 et B=1 = sA=1 + sB=1 = (RA=1 et B=1 a)/b.

En soustrayant (2) à (1), on obtient

sA=0 + sB=0 – (sA=0 + sB=1) = (RA=0 et B=0 a)/b – (RA=0 et B=1 a)/b,

c’est-à-dire

sB=0 – sB=1 = (RA=0 et B=0 – RA=0 et B=1)/b

d’où

b(sB=0 – sB=1) = RA=0 et B=0 – RA=0 et B=1.

En soustrayant (4) à (3), on obtient

b(sB=0 – sB=1) = RA=1 et B=0 – RA=1 et B=1,

d’où

RA=1 et B=0 – RA=1 et B=1 = RA=0 et B=0 – RA=0 et B=1.

Si le modèle est vrai, deux différences observables sont égales.

On obtient l’égalité de deux autres différences observables en soustrayant (3) à (1) et (4) à (2) :

RA=0 et B=0 – RA=1 et B=0 = RA=0 et B=1 – RA=1 et B=1.

 3. Négocier l’approximation

On demande à quelqu’un, à qui on a appris à distinguer les critères SA et SB, d’apprécier les quatre situations (en abrégé : 00, 01, 10, 11). On calcule les quatre différences et il faut alors juger : les égalités déduites de la théorie sont-elles obtenues ou pas ? Comme on ne dispose pas d’une mesure exacte des distances R, on peut se donner une approximation de ± 1 mm, c’est une question de convention (cf. 7a).

Avec cette convention, on accepte comme approximativement égales deux valeurs dont la différence est inférieure, en valeur absolue, à 2 mm, et comme clairement inégales deux valeurs dont la différence est supérieure, en valeur absolue, à 2 mm.

4. La stabilité des réponses

Supposons que le test soit réussi. Peut-on conclure que la personne produit ses appréciations pour cette situation toujours selon la même formule d’intégration additive ? Non. Il faut vérifier, par exemple, trois jours plus tard. Il est possible que ses appréciations changent, de telle sorte que l’additivité soit à nouveau corroborée, ou bien de telle sorte que l’additivité soit falsifiée. Immense est notre ignorance.

5. Comparabilité inter-individuelle

Supposons que les réponses de Paul et de Julie permettent de supposer qu’elles mesurent leurs appréciations selon le modèle additif. Supposons que lorsqu’ils apprécient la situation 00, leurs réponses soient 2 et 4 cm, respectivement. Peut-on en déduire que Paul a une appréciation plus petite que Julie de la situation ?

D’après la théorie, les personnes attribuent des valeurs aux critères. Mais la théorie est muette sur l’unité de valeur sur laquelle repose l’additivité. Rien ne dit que les unités de valeur utilisées par Paul et Julie pour évaluer les critères soient égales — d’un point de vue épistémologique, on peut se demander s’il existe même un critère d’égalité. Même en postulant l’égalité des unités de valeur, rien ne dit que les fonctions de mesurage qu’ils utilisent, une fois les valeurs additionnées, pour indiquer leurs appréciations sur l’échelle de réponse, soient identiques.

La plausibilité de l’additivité du modèle au niveau intra-individuel n’implique pas que les réponses (R) permettent des comparaisons théoriques inter-individuelles (r). Agréger les réponses de personnes différentes pour faire des inférences sur le processus de mesurage fonctionnel moyen suppose d’accepter que ce processus ne dépende pas des personnes (seules les valeurs données aux critères seraient spécifiques). Cette hypothèse est testable : elle implique que toute personne produise ses réponses selon un processus additif.

Référence

Anderson, N. H. (2001). Empirical direction in design and analysis. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

7a. Instrument de mesure et fonction de mesurage

1. Mais quand même…

« Une échelle ou un test psychotechniques ne sont pas des instruments de mesure », « le médecin qui utilise une échelle hétéro-évaluative ou la personne qui utilise par exemple une échelle analogique de douleur sont des instruments de mesure » (voir 6a) : cela mérite une discussion.

On dit que le mètre représenté ci-dessous (source) est un instrument de mesure et cela ne pose pas de problème. Si on dit qu’une personne est un instrument, on lui enlève sa dignité, sa responsabilité, ou encore son libre arbitre. Dire qu’elle est un instrument de mesure paraît donc problématique puisqu’un instrument de mesure est un instrument.

 Metre_pliant_500px

2. Mesurer, c’est exploiter un principe de mesurage : application au mesurage de longueurs

Pour comprendre ce qu’est mesurer une grandeur, il faut savoir comment, dans les situations psychotechniques comme dans d’autres situations où il s’agit de mesurer, on mobilise un principe de mesurage — selon lequel les observations effectuées sur un objet possédant cette grandeur permettent de déduire quelque chose à propos de cette grandeur.

L’utilisateur d’un mètre pliant (ou d’un double décimètre) procède au mesurage de la longueur d’un objet en positionnant le zéro de son mètre pliant au « début » de l’objet et en déterminant la graduation qui correspond à la « fin » de l’objet, de sorte que le segment [« début », « fin »] est ainsi  rendu équivalent à un segment du mètre-ruban qui est lui-même décrit par un nombre de graduations ou par un intervalle de graduations. Il s’agit d’une opération descriptive. La description réalisée est conçue comme le résultat d’un mesurage de la longueur de l’objet parce qu’on admet qu’il existe une fonction de mesurage (affine) qui relie la grandeur « longueur », pur concept d’un segment [0, max], aux descriptions que ce procédé de description rend possibles.

Cette fonction peut-être appréhendée expérimentalement : par exemple, si je diminue la longueur de l’objet en en coupant un morceau (ce qui permet d’affirmer que la longueur diminue, l1 < l2), la description diminuera aussi (F(l1) < F(l2)). C’est le va-et-vient entre ce qu’on sait faire sur la longueur et les descriptions correspondantes qui fonde le mesurage de la longueur : la longueur détermine la description selon une fonction de mesurage (F).

3. Mesure approchée vs. discrète

Spaghetti2

Mais il faut examiner les choses de plus près. La longueur qu’on attribue à l’objet ne détermine pas exactement la description qu’on fait de cette longueur, puisque cette longueur est par hypothèse un nombre réel positif et que la description, bien qu’elle s’exprime par un nombre, est en fait un intervalle, c’est-à-dire la donnée d’une borne inférieure et d’une borne supérieure qui encadrent ce nombre. Le nombre donné par la description est une commodité de langage. Si je dis que ce morceau de spaghetti mesure 9,7 cm, je ne prétends pas que sa longueur soit 9,7 fois plus grande qu’une longueur mesurant un cm. Je dis que l’image de la longueur par la fonction de mesurage est un nombre qui se trouve dans l’intervalle [9,5 cm ; 10 cm], si je suis prêt à assumer ce niveau de précision (ou d’approximation) pour mes descriptions (ou mes « lectures »). Assumer ce niveau d’approximation signifie prétendre qu’on peut me faire confiance, la mesure de la longueur ne se trouve pas hors de cet intervalle (voir Bachelard, 1938/1983 ; Popper, 2013).

Un mètre pliant (ou un double décimètre) est un instrument de mesure en ce sens que son langage descriptif est l’ensemble d’arrivée d’une fonction de mesurage qui ne pose pas de problème (tout au moins à ma connaissance) : cette fonction est de type y = F(l) = al, où a est un nombre réel strictement positif, l une quantité de longueur, et y l’image de l par la fonction dans le segment [0 cm, 20 cm]. Je peux déduire des observations « 9,7 cm tout à l’heure et 5,7 cm maintenant que je l’ai raccourci  » que la longueur a diminué parce que le niveau d’approximation des observations le permet : tout à l’heure, la longueur mesurée, F(l1),  était plus grande que 9 cm, maintenant la longueur mesurée, F(l2), est plus petite que 6 cm, et comme 6 < 9, la longueur a diminué (F(l2) < 6 cm < 9 cm < F(l1) donc F(l2) < F(l1) donc l2 < l1).

Les items psychotechniques discrets ne posent pas de problème d’approximation descriptive puisque les réponses possibles à l’item se trouvent dans une liste finie (si l’utilisateur ne savait pas choisir entre plusieurs réponses voisines, alors on aurait non pas un problème de mesurage mais un problème de description). Il n’est donc pas question d’approximation comme dans le cas d’un format continu.

4. Remarque sur la théorie classique des tests

La doctrine de la validation des tests est pour ainsi dire muette sur le principe de mesurage, i.e., sur la fonction qui relie la grandeur qu’on veut mesurer aux réponses possibles, et cela est possible parce qu’elle n’exige pas la validité des inférences qu’on fait à partir des observations (condition nécessaire de la scientificité, voir par exemple l’article sur la théorie classique des tests).

5. Où sied le principe de mesurage ?

Quand je dis qu’en psychotechnique l’instrument de mesure est la personne, c’est une façon d’utiliser le langage à contre-courant pour attirer l’attention sur le fait que le principe de mesurage ne se trouve pas dans le langage descriptif — en tant que tel, un test propose un langage descriptif. L’idée de principe de mesurage comprend le langage descriptif et le concept de la grandeur à mesurer. On peut maintenant interpréter ce que veut dire Falissard (2008) par « saut qualitatif » (p. 8) : l’amélioration liée à « l’ébauche d’un système d’étalonnage » (p. 8) ne porte pas sur le mesurage, mais sur le langage descriptif utilisé comme ensemble d’arrivée d’une fonction de mesurage dont il ne parle pas.

Référence

Falissard, B. (2008). Mesurer la subjectivité en santé : perspective méthodologique et statistique. Paris: Masson.