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45a. Pénétrer le statisticisme

Ce billet résulte de la difficulté, pour de nombreux étudiants de psychologie, de comprendre ce que sont les phénomènes statistiques rapportés par de nombreuses études empiriques en psychologie. Cette difficulté est aggravée, selon moi, par le canon éditorial qui veut que tout article empirique soit structuré en quatre parties, l’introduction, la méthodologie, les résultats et la discussion (American Psychological Association, 2010, chapitre 2), dont aucune ne permet de présenter explicitement l’expérience aléatoire qui construit — aux sens de (i) concevoir la possibilité de et (ii) en saisir les traces — le phénomène statistique1. Comme il faut se livrer à une « archéologie » si on veut s’en faire une idée précise, cette norme de communication scientifique rend improbable la question de savoir quel est le support ontologique de l’expérience aléatoire — de quoi appréhende-t-on le comportement statistique ? — et permet d’admettre, à tord, que ce qui a été saisi du phénomène statistique est une description générale, c’est-à-dire valable pour tout individu (au sens générique d’entité) qui aurait pu être enrôlé dans l’étude pour enrichir l’échantillon d’unités d’observation (voir aussi Harré, 2004, Lamiell, 2013).

Des étudiants ont sélectionné Geiselman et Glenny (1977) qui, si je me fie à eux2, ont testé 30 personnes à qui ils ont présenté successivement 18 diapositives, un questionnaire et 72 mots. Les étudiants retiennent deux critères du « mode » dit « d’essai » (voix masculine vs. féminine) et trois critères de « répétition » (voix masculine, féminine, sa propre voix). Si je ne trahis pas leur analyse, ils n’ont aucune idée de ce que les chercheurs cherchent dans les données parce qu’ils n’ont aucune idée du phénomène statistique que ceux-ci ont en tête.

On lit dans le résumé de l’article « A surprise recognition test for the words indicated that the words were more likely to be recognized if they were spoken in the same Voice at test as was used to repeat them during presentation ». Le phénomène statistique en question est la reconnaissance plus probable de mots préalablement entendus dans la condition « same Voice » que dans une autre condition. Il s’agit de ne pas confondre le phénomène psychologique, qui se produit, si l’on peut dire, dans la tête de chaque sujet lorsqu’il reconnaît ou ne reconnaît pas un mot qu’il vient d’entendre, et le phénomène statistique, qui ne se produit pas nécessairement chez quelqu’un (voir aussi Falissard, 2014 ; Hanson, 1971 ; Papert, 1981). C’est tout un travail d’acculturation, pour un étudiant de psychologie, d’accepter de s’intéresser non pas au premier phénomène, pertinent parce qu’il concerne des personnes « concrètes »3 mais au second, dont la pertinence tient à sa facilité d’accès empirique — les « données »4.

1. Version 1 de l’histoire

Comment se représenter ce phénomène statistique ? Par un schéma statistique simple, qui porte sur un événement aléatoire (voir Falmagne, 2003), nommément l’occurrence d’un nombre de mots rappelés : on observe un nombre de mots qui joue le rôle du résultat d’un lancer de dé — et, on va le voir plus bas, tout le problème est de savoir ce qu’est le dé — ; de plus, on suppose que les résultats de l’expérience aléatoire dépendent de la manière dont on jette le dé — selon qu’on déclenche l’expérience aléatoire dans telle ou telle condition.

Distinguons la condition « same Voice » et la condition « not-same Voice ». Le nombre de mots qui s’observe dans chaque condition est non seulement variable d’un sujet (penser « d’un lancer ») à un autre, mais encore les chercheurs parient que la variabilité aléatoire n’est pas la même dans chaque condition. Ils s’attendent à ce qu’en moyenne, le nombre de mots soit plus grand dans la condition same Voice. Compte tenu de ce qu’ils utilisent 30 sujets (penser « 30 lancers »), ils peuvent comparer deux moyennes (une par condition), chacune étant probablement calculée à partir des 15 « lancers » de chaque condition.

En termes de tableau de données, où les colonnes sont des « variables » et les lignes les différentes occurrences de l’expérience aléatoire, on a une colonne qui indique, pour chaque occurrence (ou unité d’observation), la condition expérimentale et une colonne qui indique le nombre de mots rappelés ; et on a 30 lignes puisqu’on a 30 lancers. Le référentiel de description de cette étude est, pour la variable dite indépendante, la liste des conditions expérimentales, i.e., {same Voice, etc.5} et, pour la variable dite dépendante, {0, 1, …, n}, où n est le nombre maximum de mots pouvant être rappelés (je dirais 18) — le référentiel de l’étude est le produit cartésien de ces deux ensembles.

Concernant la population statistique qui permet de construire l’idée statistique de variable (bivariée puisqu’on a une VI et une VD), comment définir les unités statistiques qui la composent ? Du point de vue probabiliste, la population statistique se comporte, en émettant des signaux ou encore de l’information variables dans le référentiel de description de l’étude ; du point de vue empirique, et contrairement au dé comme réservoir de lancers, la population statistique n’a pas d’existence naturelle — d’où le paradoxe empiriste de ces études, qui est qu’elles sont fondées sur des données objectives qui, ensemble, décrivent le mirage d’un objet. Ce mirage résulte de la capacité des chercheurs à fabriquer un échantillon d’unités d’observation, en recrutant des sujets, en leur attribuant une condition expérimentale et en observant comment ils s’y comportent. Autrement dit, on a bien 30 unités d’observation, qui sont concrètement des couples (personne, moment de l’expérience dans la vie de cette personne), mais elles sont fabriquées au moment où les chercheurs le décident et il faut faire appel à l’imagination pour faire comme si les observations résultaient d’un échantillonnage : il n’y a pas plus de dé que d’urne qui contient à l’avance les unités statistiques dont certaines deviendraient des unités d’observation suite à un tirage au sort.

Le problème est qu’une telle façon d’étudier les gens ne permet d’apprendre d’une personne enrôlée dans l’expérience qu’un nombre : le nombre de mots qu’elle a reconnus dans telle circonstance expérimentale. Autrement dit, on ignore comment l’effet statistique mis en évidence peut intervenir chez au moins une personne et on peut même se demander si la réalité d’un tel effet expérimental a un sens au niveau individuel. On voit par là que le style de recherche qui définit la psychologie expérimentale depuis les années 30 (Danziger, 1987) consiste, pour les chercheurs, à montrer qu’ils sont capables de fabriquer des phénomènes statistiques (et ce n’est hélas pas un problème scientifique s’ils ne décrivent personne en particulier6).

2. Version 2 de l’histoire

La présentation qui précède méconnaît délibérément l’étude de Geiselman et Glenny (1977) : il s’agit, encore une fois, non pas de ce que Geiselman et Glenny racontent en fait, mais des connaissances qui sont nécessaires à leur lecteur pour qu’il obtienne de l’information quand il les lit — la compréhension d’un article empirique consiste essentiellement en une reconnaissance, laquelle n’est possible que si on connaît à l’avance ce qui y a à reconnaître. L’information essentielle dans ce type d’étude est la manière dont les chercheurs ont construit le phénomène statistique qu’ils présentent.

Il y a une autre manière possible de procéder, qui permet d’éviter l’absence de support ontologique du phénomène statistique (aucune entité empirique n’en est le siège). Il est possible que chaque sujet soit soumis à plusieurs (au moins deux) conditions expérimentales, et ceci de manière répétée, auquel cas on dispose, pour chaque sujet, du nombre moyen de mots rappelés dans chaque condition, et le phénomène statistique caractérise un sujet particulier — on a plusieurs dés.

En termes de tableau de données, il faut rajouter au tableau précédent une colonne identifiant les sujets de l’expérience. On peut alors se demander si le phénomène statistique est un fait général, c’est-à-dire si, dans le cas le plus simple, la différence de moyennes a été observée pour chacun des 30 sujets testés — ce qui est plus intéressant. Les unités d’observation sont alors, étant donné un sujet particulier, les triplets (sujet, moment auquel il a été exposé à un mot, moment auquel il l’a reconnu ou pas). Le fait de conditionner le phénomène statistique « différence de moyennes » à un sujet « concret » permet de lui donner un support empirique (où « empirique » est synonyme de « concret »).

Toutefois, dans la mesure où le référentiel est artefactuel7, la population statistique reste une fiction dont on peut se passer si on peut échapper au rite du test statistique de l’hypothèse nulle (cf. Ohlsson, 2010). Un test statistique ne dit rien sur la robustesse du phénomène statistique, parce qu’un phénomène robuste est un phénomène régulier (qui se répète) ; or, pour savoir qu’un phénomène se répète, il faut en avoir pris l’habitude ce qui implique qu’il faut recommencer l’expérience aléatoire autant de fois qu’on le souhaite jusqu’à se convaincre qu’on peut « compter dessus » — c’est une question d’induction, pas de déduction.

Pour aller plus loin : 15a. Pour des exemples de phénomène statistique simulé où on voit comment le référentiel empirique est « tapé » ou « impacté » par la répétition de l’expérience aléatoire : choix d’un film au cinéma, score de QI.

Références

American Psychological Association (2010). Publication manual (6th ed.). Washington, DC.: Author.
Danziger, K. (1987). Statistical method and the historical development of research practice in American psychology. In L. Krüger, G. Gigerenzer & M. S. Morgan (Eds.), The probabilistic revolution, Vol. 2: Ideas in the sciences (pp. 35‑47). Cambridge: MIT Press.
Falmagne, J. C. (2003). Lectures in elementary probability theory and stochastic processes. Boston: McGraw Hill.
Geiselman, R. E., & Glenny, J. (1977). Effects of imagining speaker’s voices on the retention of words presented visually. Memory & Cognition, 5, 499-504.
Lamiell, J. T. (2013). Statisticism in personality psychologists’ use of trait constructs: What is it? How was it contracted? Is there a cure? New Ideas in Psychology, 31, 65-71.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "45a. Pénétrer le statisticisme", in Épistémologie de la psychologie, 14/01/2017, http://epistemo.hypotheses.org/4294.

  1. J’utilise le singulier parce que si une étude repose sur plusieurs expériences aléatoires, il faut les envisager une par une. []
  2. L’objet n’est pas ici de commenter Geiselman et Glenny (1977) ; l’essentiel est dans les connaissances qui sont nécessaires à leur lecteur pour qu’il comprenne ce que les chercheurs ont appris de leur étude. []
  3. Je mets des guillemets parce que quoi de plus abstrait, artificiel, illogique, ou encore contradictoire, que l’idée d’une personne, qui, dans la durée, reste identique à elle-même, reconnaissable, tout en changeant ? []
  4. Ici aussi, il faut des guillemets parce que les données ne tombent pas du ciel mais résultent d’une activité humaine compliquée sans laquelle elles n’existeraient pas — la mise en œuvre de l’expérience aléatoire. []
  5. Il faut peut être distinguer plusieurs types de condition not-same Voice. []
  6. Ici, il y aurait beaucoup à discuter. Le problème n’est pas tant le goût pour les phénomènes statistiques ; le problème est l’impérialisme culturel qui va avec (voir, par exemple, Lamiell, 2013). []
  7. Un référentiel factuel contient des modalités descriptives qui sont valables à tout instant de la vie d’une entité, tandis qu’un référentiel artefactuel ne vaut que dans une situation particulière ; par exemple, le QI des gens n’est pas une propriété factuelle, mais artefactuelle : au cinéma, Paul n’a pas de QI du tout, ni de score de reconnaissance des mots d’une liste expérimentale. []

42a. Notations utiles pour conceptualiser précisément les données

Dès qu’on veut s’exprimer par écrit pour pouvoir discuter avec un groupe de personnes à propos d’une question particulière, on a besoin d’un langage commun. Lorsque la discussion se veut scientifique, les notations facilitent grandement l’échange d’idées suffisamment détaillées pour être testées contre d’autres idées. Ce billet introduit la plupart des notations utiles pour discuter d’épistémologie et de méthodologie en psychologie, en partant d’exemples concrets.

1. Notations pour parler d’un questionnaire psychologique

Considérons le questionnaire d’estime de soi reproduit ci-dessous (source). Ses dix items forment une collection. Chaque item possède un format de réponse : ses quatre réponses possibles forment une collection.

ech_rosenberg

La notion de collection est formalisée (mathématisée) par le terme « ensemble ». Le questionnaire d’estime de soi ci-dessus est un ensemble de 10 items (en négligeant la consigne commune à tous les items, qui ne fait pas partie de cet ensemble) ; le format de réponse d’un item quelconque du questionnaire est un ensemble de quatre réponses. On appelle éléments les objets qui constituent un ensemble.

Les éléments de l’ensemble des réponses possibles au premier item sont « Tout à fait en désaccord », « Plutôt en désaccord », « Plutôt en accord » et « Tout à fait en accord ». Pour indiquer le début et la fin de l’énumération, on utilise respectivement les symboles { et }. On a ainsi la notation

{Tout à fait en désaccord, Plutôt en désaccord, Plutôt en accord, Tout à fait en accord}.

On place les éléments les uns après les autres et on les sépare par une virgule suivie d’un espace. L’ensemble formé par les nombres 12,3 et 8,01 est noté {12,3 ; 8,01}.

Un ensemble est noté avec une lettre majuscule. On peut noter R l’ensemble des réponses possibles au premier item :

R = {Tout à fait en désaccord, Plutôt en désaccord, Plutôt en accord, Tout à fait en accord}.

L’expression ci-dessus est une phrase, donc on met un point à la fin ; elle se lit « R est égal à … ». On gagne en concision avec la notation R = {1, 2, 3, 4}, où les chiffres désignent chacun une réponse possible — notion d’échelle nominale, voir 40a.

Comment noter l’ensemble des items ? On pourra — soyons simples — utiliser I (i majuscule) pour « item ». Maintenant, on veut compléter la phrase I = {…}. On a besoin d’utiliser une notation pour représenter les 10 items, trop longs à recopier. Pourquoi ne pas utiliser 1, 2, etc. ? Mauvaise idée parce que les chiffres 1, 2, 3 et 4 désignent déjà des éléments de R. Alors pourquoi pas I1, I2, etc. ? C’est une possibilité. On aurait

I = {I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8, I9, I10}.

Comme il est fastidieux de lister chacun de ces 10 éléments ! Une notation elliptique va nous rendre service :

I = {I1, I2, …, I10}.

On indique, à l’aide des deux premiers éléments, comment on passe d’un élément au suivant (cf. les suites logiques des tests de logique, on passe de I1 à I2 en ajoutant 1 à l’indice de I) ; on n’a pas besoin de « I3, I4, I5, I6, I7, I8, I9 », qu’on remplace par les trois points ; et on a besoin de « I10 » pour terminer la série.

Une possibilité plus élégante consiste à réserver les lettres majuscules aux ensembles et à utiliser des lettres minuscules pour les éléments. On pourrait envisager I = {a, b, …, j} ou, un peu plus lourd mais plus explicite, I = {i1, i2, …, i10}. Les puristes préfèreront mettre les minuscules en italique et les indices en indice, d’où

I = {i1, i2, …, i10}

en acceptant de se battre un peu avec l’éditeur de texte mais c’est plus joli.

On veut maintenant une notation pour désigner l’ensemble des réponses à l’item i8, de telle manière qu’on sache bien que la réponse « Plutôt en accord » à cet item ne désigne pas le même événement psychologique (ou comportemental) que l’événement psychologique qui s’est produit lorsque la réponse « Plutôt en accord » a été donnée à l’item i2. On peut utiliser

R8 = {18, 28, 38, 48},

notation qui permet d’exprimer que 38 n’est pas égal à 32 (qu’on écrit 38 ≠ 32). On peut omettre d’indicer les chiffres qui codent les réponses par pure flemme, mais on s’expose à des confusions comme 38 = 32 parce que 3 = 3 ou encore « Plutôt en accord » (à l’item n° 8) = « Plutôt en accord » (à l’item n° 2). Sur-simplifier les notations est acceptable si cela n’entraîne pas de confusion conceptuelle ; dans cette perspective flemmarde et lucide, on écrira alors

R8 = {1, 2, 3, 4}.

On veut maintenant pouvoir parler de n’importe quel item de I. Pour cela, on peut se donner un indice j (en italique) et utiliser le procédé suivant : le jième item de I est l’item ij. Si on veut exprimer que ce qu’on dit d’un item particulier est valable pour tout item de I, comme par exemple, « cet item a quatre réponses possibles », on peut dire

pour tout j = 1, 2, …, 10, l’item ij a quatre réponses possibles.

Si on veut être encore plus concis on peut remplacer « pour tout » par le symbole «  » (qui se lit aussi « quel que soit »). Les puristes de la notation ne seront toutefois pas satisfaits de la syntaxe « j = 1, 2, …, 10 » et ils auront raison, parce que j ne peut pas être égal à la série 1, 2, …, 10. On peut tolérer cet abus de langage, toutefois facile à éviter. Comment améliorer la notation ? On peut écrire

j appartenant à {1, 2, …, 10},

qui interdit d’interpréter j comme une série parce que j ne peut que prendre successivement les valeurs 1, 2, , 10. Le symbole pour exprimer de manière concise l’appartenance à un ensemble est . On peut écrire

j ∈ {1, 2, …, 10}, ij a quatre réponses possibles.

Une notation concise pour exprimer le nombre que contient un ensemble E existe et elle va être utile ici. Ce nombre s’appelle un cardinal (mais si un nombre peut être un cardinal, un cardinal peut ne pas être un nombre parce que l’infini n’est pas un nombre et qu’il existe des ensembles contenant une infinité d’éléments, cf. section 4). On utilise la notation |E| — et non pas /E/ qui ne veut rien dire dans ce contexte et il faut prendre la peine de trouver comment faire le symbole « | » sur son clavier. Ainsi, les expressions |I| = 10 et |Rj| = 4 sont concises et précises dès lors qu’on sait à quoi elles réfèrent. En cas de doute, il faut expliciter.

Comment écrire en « concis et précis » l’idée, formulée de manière imprécise, que les items de ce questionnaire ont quatre réponses possibles ? En écrivant

j ∈ {1, 2, …, 10}, |Rj| = 4, avec Rj le format de réponse de l’item j.

Double indiçage. Maintenant, on veut pouvoir noter n’importe quelle réponse à n’importe quel item, comme par exemple la réponse « Plutôt en accord » à l’item « Je suis capable de faire les choses aussi bien que la majorité des gens ». Il suffit d’appliquer la procédure qui permet de repérer n’importe quelle case d’un damier, formé par l lignes et c colonnes, à l’aide du numéro de ligne et du numéro de colonne. Ici, le « damier » du questionnaire est formé par les  l = 10 lignes des items et les c = 4 colonnes des réponses à l’item. N’importe quelle case du « damier », c’est-à-dire n’importe quelle réponse élémentaire, correspond à l’intersection d’une ligne et d’une colonne et on peut la repérer par le double indice i.j, où i = 1, 2, …, 10 et j = 1, 2, 3, 4. La réponse dont on parle dans cet exemple peut être notée r4.3, où le double indice signifie que c’est la troisième réponse du format de réponse du quatrième item. L’ordre ligne-colonne (li-co) pour le double indiçage est une convention qui s’applique aussi aux tables de contingence.

Ordre. Lorsqu’on délimite les éléments d’un ensemble par des accolades, comme dans E = {a, b, c}, on ne précise pas si ces éléments sont ordonnés. La notation E = {b, c, a} est correcte. Pour indiquer expressément que les éléments d’un ensemble sont ordonnés (par défaut, dans l’ordre croissant), on les encadre avec des parenthèses. Si l’ordre alphabétique a un sens pour E et qu’on veut l’exprimer clairement, on peut écrire E = (a, b, c), qui devient alors un triplet (voir 20a).

Comme les réponses aux items du questionnaire constituent ce qu’on appelle une échelle de Likert, c’est-à-dire une échelle ordinale (cf. 40a), on peut noter cet ensemble par

Rj = (1, 2, 3, 4) avec j = 1, 2, …, 10,

bien que ce ne soit pas nécessaire. Cette notation est nécessaire lorsqu’on veut désigner une réponse particulière au questionnaire parce que l’ordre dans lequel on recopie les réponses indique l’ordre des items. Ainsi, le 10-upet (1, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 4) est noté avec des parenthèses. On sait grâce à cette notation que la réponse à l’item numéro 9 est la troisième réponse du format de réponse, c’est-à-dire « Plutôt en accord ».

Comme le questionnaire comporte des items positifs et des items négatifs, les chiffres contenus dans ce 10-uplet ne peuvent pas être additionnés pour calculer le score correspondant à cette réponse — il faut d’abord procéder à un recodage des réponses aux items négatifs. L’ensemble des scores possibles à ce questionnaire est bien entendu ordonné et on l’appelle une échelle de scores, qu’on notera pourtant

S = {10, 11, …, 40} (S pour score ou scale).

L’usage de considérer cette échelle comme une échelle ordinale au sens de Stevens (1946) n’est pas correct puisque cette échelle n’est pas une échelle nominale : en effet, selon Stevens, une échelle nominale suppose un isomorphisme (c’est-à-dire, ici, une bijection ou encore une correspondance bi-univoque) entre l’ensemble des objets auxquels on attribue un nombre et l’ensemble des nombres ainsi attribués.

Notons D = {(1, 1, …, 1), (1, 1, …, 2), …, (4, 4, …, 4)} l’ensemble de tous les 10-uplets possibles (D pour descriptions possibles de la réponse au questionnaire). On a |D| = 410 et |S| = (40 – 10) + 1 = 31, ce qui implique qu’il existe au moins un score qui décrit (ou, selon le langage de Stevens, mesure) plus d’un 10-uplet de réponses. Par exemple, le score 11 décrit 10 10-uplets différents qu’on obtient en déplaçant le nombre 2 dans (1, 1, …, 1, 2). Pas de correspondance bi-univoque entre D et S, donc S n’est pas une échelle nominale de D. Or une échelle ordinale est une échelle nominale dotée d’une relation d’ordre, héritée d’une relation d’ordre dans l’ensemble des objets ainsi « mesurés ». Si S ne constitue pas une échelle nominale pour D, elle ne peut constituer une échelle ordinale pour D ; l’ordre de S n’a pas de signification descriptive qu’on puisse référer aux propriétés nominales ou ordinales de D (cf. aussi Costa et McCrae, 2007).

2. Notations pour parler de « variables de questionnaires »

L’expression « variable de questionnaire » est utile pour attirer l’attention sur les deux termes ainsi concaténés mais elle est imprécise. Comme une variable statistique est, par définition, une application qui, à toute unité statistique de son ensemble de départ, associe une et une seule image dans son ensemble d’arrivée, une « variable de questionnaire » désigne une variable statistique dont l’ensemble d’arrivée est l’ensemble des réponses possibles au questionnaire, noté D, ou l’ensemble des scores possibles au questionnaire, noté S.

On note Ω la population statistique, ensemble de départ (ou de définition) d’une variable statistique. Les éléments de Ω, appelés unités statistiques, sont notés ω. On note les variables avec des majuscules. La notation

X : Ω → D

indique que la variable X est définie sur Ω et prend ses valeurs dans D. La notation

X(ω) = x

indique que l’image de ω par X est la valeur x de D. Dans le cas du questionnaire d’estime de soi utilisé comme exemple ici, x est un 10-uplet.

Lorsqu’on associe le concept de variable à un questionnaire, les unités statistiques correspondent à des personnes e (pour entité) qui répondent au questionnaire à un moment t et on a ω = (e, t). Dans ce cas, les unités statistiques sont des unités d’observation parce qu’il faut avoir fait passer le test à quelqu’un à un certain moment pour que sa réponse au test existe (soit un fait). Par conséquent, raisonner sur des variables de questionnaires définies sur des populations parentes de cardinal infini, i.e., qui servent de réservoirs à des échantillons d’unités d’observation, est une vue de l’esprit puisque les unités statistiques qui ne sont pas des unités d’observation n’ont pas d’image dans D.

Plusieurs échelles de scores. Il est courant en psychologie de faire passer plusieurs questionnaires à un échantillon de personnes. En négligeant le fait que les différents questionnaires ne peuvent être passés en même temps par une personne donnée et en considérant que les questionnaires ont été administrés à un moment t, les scores obtenus à chaque questionnaire par une personne e à t constituent un m-uplet de scores. Par exemple, une étude empirique qui serait fondée sur l’administration de 13 questionnaires à 60 personnes permet de construire la variable

X = (X1, X2, …, X13) : Ω60 → S = S1 x S2 x … x S13,

Xj : Ω60 → Sj, j = 1, 2, … 13, est la variable qui associe un score au questionnaire numéro j à toute unité d’observation de l’échantillon. La notation S1 x S2 x … x S13 désigne le produit cartésien des 13 échelles de scores associées aux 13 questionnaires. Ce produit cartésien est, par définition, l’ensemble de tous les 13-uplets de scores possibles.

La même batterie de questionnaires administrée plusieurs fois. Il est courant en psychologie qu’une même batterie de questionnaires (ou de tests psychotechniques) soit administrée plusieurs fois à un même échantillon de personnes. Considérons le cas le plus simple d’un test-retest (ou pré-test-post-test). Une unité d’observation a la forme ω = (e, t1, t2t1 et t2 désignent les moments du test et du retest, respectivement. On peut généraliser la notation avec ω = (e, t) t (en gras et pas en italique) désigne le m-uplet de moments (t1, t2, …, tm).

Comment noter une variable correspondant à un tel design ? Il y a plusieurs façons de faire et ce qui importe est que le système de notation soit explicite et efficace. On n’utilisera pas la notation (X1, X2, …, Xm),  déjà été utilisée ci-dessus pour un design strictement transversal (un seul moment par unité d’observation et plusieurs questionnaires indicés par des numéros). Une approche économique, mais peu courante en psychologie, consiste à définir la variable

Xj : Ω60 → Sj x Sj

qui, à toute unité d’observation de Ω60, associe un et un seul 2-uplet de scores obtenus avec le questionnaire numéro j, le premier score correspondant au test et le second score correspondant au retest. Il est plus courant qu’on veuille pouvoir parler de la « variable pré-test » et de la variable « post-test ». Dans ce cas, on peut définir le couple de variables (qui est une variable bivariée)

(Xj , Yj) : Ω60 → Sj x Sj

où X et Y servent à noter la variable pré-test et la variable post-test, respectivement. On a donc, dans le cas d’une batterie de 13 questionnaires administrés deux fois, 13 couples de variables à considérer, de telle sorte que chaque unité d’observation soit décrite par un 13-uplet de scores au pré-test et un 13-uplet de scores au post-test — ce qui donne un 2-uplet de 13-uplets. Il suffit de définir la variable

(X , Y) : Ω60 → S x S

X = (X1, X2, …, X13) : Ω60 → S = S1 x S2 x … x S13 et Y = (Y1, Y2, …, Y13) : Ω60 → S = S1 x S2 x … x S13 désignent les variables pré-test et post-test, respectivement. La variable (X, Y) associe à toute unité d’observation un et un seul 2-uplet de 13-uplets de scores.

3. Application à Camart et al. (2006)

L’avantage de ce type de notation est d’inciter à penser précis et la précision est ici associée à la lucidité scientifique (l’imprécision étant alors associée à un manque de lucidité scientifique). Par exemple, examinons le résumé de Camart et al. (2006) reproduit ci-dessous.

resume_camart-et-al-2006Que signifie précisément l’expression « une amélioration significative des patients sur l’ensemble des variables mesurées » ? Il s’agit d’amélioration et ce qui est l’objet d’amélioration est désigné par le terme « patients ». Ce terme désigne l’échantillon des 60 personnes souffrant de phobie sociale sélectionnées pour cette étude. Il s’agit donc de savoir ce que signifie l’amélioration d’un ensemble de personnes. Comme l’étude rapporte des analyses portant sur des 2-uplets de 13-uplets de scores obtenus par chacune de ces personnes en pré- et post-test, les auteurs n’ont sans doute pas la prétention de parler d’autre chose que des scores qui décrivent les personnes lors des pré- et post-tests. En effet, de telles descriptions ne disent pas grand chose de ces personnes (cf. Popper, 1945/2013 ; la lucidité scientifique consiste ici à ne pas perdre de vue que les données analysées par Camart et ses co-auteurs proviennent de réponses à des questionnaires). Ce ne sont pas des personnes qui sont améliorées mais des scores, lesquels, bien qu’ils soient qualifiés de « mesures » par les auteurs, ne mesurent pas de grandeur psychologique si on entend qu’un score est une mesure si sa variation dépend de manière croissante de la variation d’une quantité de grandeur (cf. mon cours de mesurage).

tableau_camart-et-al-2006

Lorsqu’on examine les résultats communiqués dans le Tableau 1 de l’article (ci-dessus), on constate que ce qui s’améliore, ce sont des moyennes des scores. Les auteurs considèrent l’ensemble {d1, d2, …, d13} des 13 différences de moyennes qui ont pu être calculées à partir des 13 questionnaires ou sous-questionnaires utilisés. Le fait que dj , j = 1, 2, …, 13, soit significative renvoie au cadre de référence habituel en statistique inférentielle, à savoir (i) la fiction d’un couple (Xj, Yj) de variables normales, défini sur une certaine population statistique, (ii) la convention selon laquelle les scores observés résultent d’un échantillonnage dans cette population statistique, (iii) le test de l’hypothèse nulle selon laquelle les deux variables Xj et Yj ont même moyenne.

Le point critique est que l’amélioration des moyennes n’implique logiquement pas l’amélioration de (la symptomatologie phobique sociale de) chaque personne de l’échantillon pour deux raisons indépendantes. La première tient au fait qu’un changement moyen n’implique pas un changement général. La seconde tient à ce que, même si, en un sens vague, la symptomatologie phobique sociale des patients s’est améliorée entre le pré- et le post-test, on ne voit pas comment l’ensemble des 13-uplets de scores possibles permet de décrire un état momentané de cette symptomatologie, autrement dit, comment cet ensemble de 13-uplets constituerait ne serait-ce qu’une échelle nominale pour « mesurer », au sens de Stevens (1946), la phobie sociale. Il faut d’abord que la phobie sociale ait été élaborée comme un ensemble d’objets ou d’événements, pour reprendre les termes de Stevens, pour qu’on puisse envisager d’attribuer des nombres ou des m-uplets de nombres à ces objets ou événements.

La substitution de termes, coutumière dans la plupart des études rapportant des tests statistiques fondés sur des scores, qui consiste à remplacer « les différences de moyennes d’un groupe de patients » par « les patients », constitue un jargon technique pour « aller vite ». Mais un étudiant débutant ou un lecteur profane peut s’y laisser tromper s’il n’interprète pas les propositions de manière précise. L’art de la notation peut aider, je l’espère, à éviter de grossières erreurs d’interprétation. Même si les 60 x 13 = 780 différences de scores étaient améliorées, il faudrait encore rester lucide sur le fait qu’il n’y pas de patient amélioré tout court parce que la notion de « patient amélioré » n’est pas définie. Un lecteur attentif et intéressé pourrait demander aux auteurs d’indiquer le nombre de différences de scores (di.j , i = 1, 2, …, 60 et j = 1, 2, …, 13), qui sont améliorées parmi les 780 différences qui ont pu être calculées, ainsi que le nombre de 13-uplets de scores qui se sont améliorés parmi les 60 2-uplets de scores qui ont pu être calculés (pour la notion de comparaison de m-uplets, voir 32a).

4. Notations pour les échelles analogiques

Pour compléter cette introduction à la notation, prenons l’exemple d’une échelle analogique de douleur (cf. 36a), dont le format de réponse est un segment continu. Un segment continu est un ensemble borné à gauche et à droite, qui contient une infinité d’éléments (de points). On utilise des crochets fermés ou ouverts  pour indiquer que les bornes appartiennent ou pas, respectivement, au segment.

Les bornes sont inclues dans le segment [0 cm, 10 cm]. Le segment ]4,9 cm ; 5,1 cm[ utilisé pour encadrer (mesure approchée) la marque d’une personne sur [0 cm, 10 cm] ne contient pas les bornes inférieure et supérieure.

Références

Camart, A., André, C., Trybou, V., & Bourdel, M.-C. (2006). Évaluation des effets à court terme d’une thérapie cognitivo-comportementale de groupe dans la phobie sociale : résultats auprès de soixante patients. L’Encéphale, 32, 1011-1018, cahier 1.
Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of mesurement. Science, 103, 677-680.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "42a. Notations utiles pour conceptualiser précisément les données", in Épistémologie de la psychologie, 18/12/2016, http://epistemo.hypotheses.org/3951.

11a. Scorage vs. mesurage psychotechnique

Ce billet demande patience et ténacité parce que certaines notions techniques, simples mais abstraites, sont mobilisées pour une conceptualisation minutieuse. Le cas échéant, le lecteur ne doit pas hésiter à consulter Internet sur certaines notions spécifiques (application, composition d’applications, produit cartésien, fonction croissante…). La notion fondamentale de m-uplet est détaillée dans 20a.

La différence conceptuelle entre le scorage psychotechnique et ce qui serait un authentique mesurage psychotechnique peut être mise en évidence en décrivant l’un et l’autre comme la composition de deux applications, A ○ X vs. F ○ Q. Pour montrer que scorage et mesurage ne sont pas synonymes, il suffit de montrer que les deux applications composées ne sont pas identiques .

Déterminer le score psychotechnique d’une personne à un moment donné consiste à déterminer (via X) puis à scorer (via A) une description psychotechnique de cette personne à ce moment. Mesurer nécessite de supposer que la description psychotechnique résulte d’un processus de mesurage (formalisé par F) d’une certaine quantité déterminée (via Q). Si cette supposition est fausse, la description ne résulte pas d’un mesurage. Le scorage de cette description se présente alors comme une forme de pseudo-mesurage où le codage numérique se substitue au mesurage.

1. Description psychotechnique X

La description psychotechnique est une application X : Ω → D. Son ensemble de départ, Ω, est une population statistique. Une unité d’observation de Ω consiste le plus couramment en une personne e à un certain moment t, la notion de « moment » correspondant à l’intervalle de temps nécessaire à la passation du test ; une unité d’observation quelconque est notée ω = (e, t).

L’ensemble d’arrivée de X est noté D (pour description). Les éléments de D sont des m-uplets, où m indique le nombre d’items du test1. Le caractère gras de la notation D indique que la description est multivariée — elle a la forme d’un m-uplet où m > 1 — (par opposition à univariée — un score est un 1-uplet). Il est facultatif mais je l’utilise ici pour aider à distinguer entre multi- et univarié. La description psychotechnique d’une unité d’observation ω est la donnée de m réponses au test ; cette donnée se note X(ω) = x (pour les notations, cf. 42a).

L’application X est l’application conjointe

X1X2…Xm : Ω → D1×D2×…×Dm = D

(D est un produit cartésien), où tout Xi, i = 1, 2, …, m, associe à toute unité d’observation une et une seule valeur dans l’échelle des valeurs descriptives de l’item i.

2. Règle de scorage psychotechnique A

Une règle de scorage psychotechnique est une application notée A : D → S (A pour agrégation). Son ensemble de départ est l’ensemble d’arrivée de X, c’est-à-dire l’ensemble des m-uplets qui peuvent être envisagés étant donné le test. L’ensemble d’arrivée de A est noté S pour scores. Le score d’un m-uplet quelconque de D est déterminé par des « règles de transformation », ou encore d’agrégation (d’où la notation A). Par exemple, le score de (0, 1, 1) est 2 points si on utilise la règle usuelle de l’addition des nombres qui se trouvent dans le m-uplet (on parle aussi de score composite, cf. 17a).

3. Scorage psychotechnique A ○ X

Tester une personne à un certain moment avec un certain test consiste à déterminer ses réponses aux m items du test — X(ω) — puis à attribuer un score à cette description — A[X(ω)]. Cette composition d’applications se note A ○ X. Le score de l’unité d’observation ω est

(A ○ X)(ω) = A[X(ω)] aussi noté X(ω).

4. Hypothèse quantitative Q

Le mesurage repose sur l’hypothèse fondamentale qu’une quantité existe (on mesure une quantité ou on ne mesure pas). Cette hypothèse peut se formuler comme l’hypothèse de l’existence d »une application Q : Ω → [0, max], qui à toute unité d’observation de Ω, associe une et une seule quantité q définie dans le segment [0, max], où « max » désigne la quantité maximale possible.

La notion statistique d’unité d’observation appelle une remarque particulière dans ce contexte. Supposer que la personne possède une quantité psychologique instantanée est une chose, supposer que cette quantité ne varie pas dans l’intervalle de temps nécessaire à la passation du test en est une autre. La convention d’invariance de la quantité à mesurer pendant la passation du test est nécessaire pour tester la mesurabilité de la quantité visée par le test (voir la convention C).

5. Fonction de mesurage F

La fonction de mesurage F : [0, max] → D est définie sur le segment [0, max] et prend ses valeurs dans l’ensemble D. Soit un test de m items. Pour tout item i du test, on suppose qu’il existe une fonction croissante Fi : [0, max] → Di, où Di est l’échelle des valeurs descriptives de l’item i (voir l’article Mesurer avec les réponses à un item). La fonction F est la fonction conjointe

F1F2…Fm : [0, max] → D1×D2×…×Dm = D.

La mesure de la quantité q par F est un m-uplet de valeurs, qu’on note y. F(q) = y.

Une propriété critique des valeurs de la fonction F est qu’elles sont simplement ordonnées parce que toute fonction Fi est croissante. Ce point est détaillé dans la section 6. Cette propriété d’ordre simple, ou encore de comparabilité, rend falsifiable la proposition selon laquelle deux descriptions particulières X(ω1) et X(ω2) résultent du mesurage des quantités Q(ω1) et Q(ω2). Il suffit que X(ω1) et X(ω2) soient incomparables, et on note X(ω1) <> X(ω2), pour que ces descriptions ne soient pas des mesures ordinales.

6. Mesurage psychotechnique F ○ Q

Si un test psychologique permet de mesurer la quantité psychologique d’une unité d’observation ω, c’est que cette quantité, Q(ω), détermine la description psychotechnique F[Q(ω)]. Le mesurage psychotechnique est donc la composition F ○ Q.

Soient les unités d’observation ω1 et ω2. Leurs mesures sont respectivement (F ○ Q)(ω1) = F[Q(ω1)] = Y(ω1) et (F ○ Q)(ω2) = F[Q(ω2)] = Y(ω2), où la lettre Y désigne l’application F ○ Q.

Ordre produit direct (définition). On dit que F[Q(ω1)] ≥ F[Q(ω2)] si et seulement si quel que soit i, Fi[Q(ω1)] ≥ Fi[Q(ω2)]. Cette définition s’applique aussi à X.

Théorème. F est croissante.

Démonstration

Soient ω1 et ω2 tels que Q(ω1) ≠ Q(ω2) :

  • Si Q(ω1) > Q(ω2), alors quel que soit i = 1, 2, …, m, Fi[Q(ω1)] ≥ Fi[Q(ω2)] donc F[Q(ω1)] ≥ F[Q(ω2)].
  • Si Q(ω1) < Q(ω2) on se ramène au cas précédent en intervertissant les indices de ω.

Comparabilité (ordre simple). La croissance de F implique que deux mesures y1 et y2 sont comparables.

7. Scorage vs. mesurage

Scorage et mesurage sont des opérations distinctes, puisque X = A ○ X n’est pas la même opération que Y = F ○ Q. Autrement dit, disposer d’un score composite X(ω) ne signifie pas qu’il existe une fonction croissante F telle que X = FQ.

Soit un ensemble Ωn de n unités d’observation. S’il existe une fonction F telle que l’image de Ωn par X soit égale à l’image de Ωn par F ○ Q, c’est-à-dire Xn) = (F ○ Q)(Ωn), alors on peut supposer que les descriptions psychotechniques Xn) sont des mesures ordinales des quantités Q(Ωn). En d’autres termes, ces descriptions sont simplement ordonnées, c’est-à-dire que les descriptions de deux unités d’observation distinctes sont égales ou strictement ordonnées. Le score exprime alors cette propriété ordinale de comparabilité.

Si une telle fonction F n’existe pas, on ne sait pas mesurer les quantités Q(Ωn). Il est possible que cette ignorance découle de l’inexistence des quantités (l’hypothèse Q est fausse), ou de notre incapacité à déterminer les conditions expérimentales qui permettent de supposer l’existence de F sans être contredit par les observations.

S’il existe deux unités d’observations ω1 et ω2 dont les descriptions sont incomparables, c’est-à-dire qu’il existe i et j tels que Xi(ω1) > Xi(ω2) et Xj(ω1) < Xj(ω2), alors F n’existe pas et donc on ne peut pas affirmer que les descriptions résultent d’un mesurage par F des quantités supposées.

8. Exercice non corrigé

  1. Un 3-uplet est par exemple (0, 1, 1), où 0 et 1 indiquent respectivement une réponse incorrecte et une réponse correcte. []