20a. Les m-uplets et leur dénombrement

Pour réfléchir aux problèmes de description objective, dont le mesurage est une des formes possibles, il faut pouvoir manipuler quelques abstractions élémentaires.

1. Les m-uplets

Un test de m items permet d’observer un m-uplet de réponses. Quand vous lisez le mot m-uplet, visualisez quelque chose comme ceci :

(¤, ¤, ¤, …, ¤),

où le symbole « ¤ » désigne une place vide. Un m-uplet est une liste de m places numérotées, peu importe qu’elles soient vides ou remplies. La place n° 1 désigne la réponse à l’item n° 1, la place n° 2 désigne la réponse à l’item n° 2 et ainsi de suite jusqu’à la dernière place, la n° m. Une place vide signifie qu’on ne connaît pas la valeur de la réponse mais que cette réponse est possible.

Notation. On peut noter x = (x1, x2, …, xm) un m-uplet, où les indices i = 1, 2, …, m désignent des rangs (notion d’ordre).

La réponse au test est par définition un m-uplet de réponses aux m items du test. Pour habituer votre esprit à cet objet, vous pouvez jouer avec la valeur de m. Si le test comporte 20 items, la réponse au test est un 20-uplet (ce qui entraîne qu’il faut 20 places pour l’écrire). Si le test comporte 5 items, la réponse au test est un 5-uplet, etc.

2. Le nombre de m-uplets possibles

Quand on s’intéresse à un test, il faut pouvoir conceptualiser l’ensemble dans lequel se trouvent les observations qu’on peut faire. C’est l’ensemble de toutes les réponses possibles, autrement dit l’ensemble de tous les m-uplets possibles.

Beaucoup de gens, y compris des gens qui enseignent ou font de la recherche en psychologie, n’ont pas d’idée claire de ce qu’est un tel ensemble, ce qui est préjudiciable à leur réflexion parce que cet ensemble est une réalité logique fondamentale. On ne peut raisonner clairement si on ne sait pas sur quoi on raisonne, et, si la psychologie est une science empirique, c’est qu’on utilise une technique descriptive, de telle sorte qu’on raisonne sur l’ensemble des m-uplets possibles associés à cette technique descriptive (voir aussi l’article n° 18a).

Commençons par le cas le plus simple, un test à un item. Puisqu’on considère les réponses à un seul item, on cherche à se représenter (se faire une image de) l’ensemble de tous les 1-uplets possibles. Ici se trouve une chausse-trappe : on parle de 1-uplets, on retient le « 1 » dans sa tête et on déduit à tord qu’il y a un 1-uplet possible. Il faut savoir de quoi dépend le nombre de 1-uplets possibles. Le nombre de 1-uplets possibles est le nombre de réponses possible à cet item.

Si l’item est par exemple l’échelle analogique de douleur, il existe une infinité de points dans le segment [0 cm, 10 cm]. Donc il existe une infinité de 1-uplets possibles. Si l’item a deux réponses possibles (par exemple, l’item de calcul mental dont les réponses sont « incorrect » ou « correct »), il existe deux 1-uplets possibles. Si l’item est défini par k réponses possibles, il y a k 1-uplets possibles. Le nombre de m-uplets possibles n’est pas m.

Maintenant, considérons un test à deux items. On s’intéresse à l’ensemble des 2-uplets possibles. Ici, il faut combiner les réponses possibles au premier item avec les réponses possibles au second item. Le premier item a k1 réponses possibles et le second item a k2 réponses possibles. On procède de la manière suivante : on considère la première réponse possible au premier item, puis on considère les k2 réponses possibles au second item. On a donc k2 2-uplets possibles qui commencent par la première réponse au premier item. On passe ensuite à la seconde réponse possible au premier item, ce qui donne à nouveau k2 2-uplets possibles, qui commencent par la seconde réponse au premier item. On a donc 2 × k2 2-uplets possibles. On continue ainsi jusqu’à la k1ième réponse au premier item, ce qui donne k1 × k2 2-uplets possibles.

Généralisons : on considère un test de m items à  k1, k2, …, km réponses, respectivement. On a donc

k1 × k2 × … × km

m-uplets possibles.

Cas particulier : soit un test de m items à k modalités de réponse. On a k × k × … × k = km m-uplets possibles. Par exemple, un test de 20 items binaires génère un ensemble de 220 20-uplets possibles. Une seconde chausse-trappe mérite d’être signalée car beaucoup de gens s’y font piéger : le nombre de 20-uplets possibles n’est pas 202 !

Exercice non corrigé

Cite this article as: Stéphane Vautier, "20a. Les m-uplets et leur dénombrement", in Épistémologie de la psychologie, 21/06/2014, https://epistemo.hypotheses.org/1608.


2 réflexions au sujet de « 20a. Les m-uplets et leur dénombrement »

  1. Chris

    Je voudrais savoir si ce que vous tentez de démontrer (quand vous prenez l’exemple d’une échelle analogique de la douleur représentée comme une règle à mesurer de type « décimètre », et mentionnant l’unité de mesure « centimètre ») est que nous devons faire attention au type d’outils que nous utilisons /construisons car cela aura un impact sur le nombre réel de 1-uplets , dans le cas cité : non pas autant de 1-uplets que de graduations mais autant de 1 u-plets que de points sur un segment (càd une infinité).
    Car l’exemple de l’échelle que vous avez mis en lien ne mentionne aucune unité de mesure comme toutes celles d’ailleurs qui se présentent sous cette forme : un trait marqué de tirets ou de points équidistants. Dans ce cas où l’unité de mesure « centimètre n’est pas mentionnée, je suppose que le nombre de 1-uplets correspondra au nombre de « graduations », et qu’il ne faudra pas replacer cet outil contestable dans un cadre géométrique…

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    1. Stéphane Vautier

      Faire attention à ce qu’on fait et à ce qu’on dit… bien sûr. Mais, quel est le problème au juste que vous vous posez ? Celui qui m’intéresse à propos d’échelle de douleur et autres techniques descriptives est de savoir si, lorsqu’on dit qu’on mesure une grandeur psy en utilisant une telle technique, on croit sérieusement qu’on sait mesurer quelque chose. Ma réponse, pas très agréable j’en conviens, et que soit on croit de bonne foi ce qu’on dit et alors on n’a pas assez réfléchi à ce que « mesurer » signifie, soit on ne croit pas tout à fait ce qu’on dit tout en le disant quand même et alors on devrait mettre de l’ordre dans sa façon de parler — notamment en n’utilisant pas « mesurer » et « évaluer » comme des synonymes.

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