Cet article a pour prérequis l’article 24a ; il détaille l’explication d’un phénomène p par une condition a (cf. 4a et 14a) en distinguant les lois intra- ou inter-individuelles de type complètement déterministe, partiellement déterministe, complètement indéterministe.

1. Population et variables

Le phénomène p et la condition a décrivent l’état d’unités d’observation de la forme (u, t). On peut considérer que les états a et p sont “simultanés”, c’est-à-dire que XY(u, t) = (a, p), ou bien successifs, c’est-à-dire que X(u, t₁) = a puis Y(u, t₂) = p (avec tout instant t_i de l’intervalle de temps t₁ strictement inférieur à tout instant t_j de l’intervalle t2). Pour alléger les écritures, nous considérons des lois “simultanées”.

2. Loi complètement déterministe

Soit XY : Ω → M(XY) = M(X) × M(Y) une variable descriptive discrète. Une loi complètement déterministe sur le référentiel d’observation [Ω, M(XY)] est le couple (α, β) tel que :

• α est un sous-ensemble non-vide de M(X),
• β est un point de M(Y),
• quel que soit (u, t), si X(u, t) ∈ α, alors Y(u, t) = β,
• ce qui équivaut à Pr[Y(u, t) = β|X(u, t) ∈ α] = 1 ou encore à Pr[Y(u, t) ≠ β|X(u, t) ∈ α] = 0.

β joue le rôle du phénomène à expliquer et α celui de sa condition suffisante. L’existence d’un (u, t) tel que XY(u, t) se trouve dans l’ensemble α × ¬β est un falsificateur de la loi. L’ensemble α × ¬β est l’ensemble de tous les états conjoints α (du point de vue de M(X)) et ¬β (du point de vue de M(Y)).

Lois intra-individuelles, lois inter-individuelles.

La loi (XY, α, β) est une loi intra-individuelle si la variable XY est définie sur une population d’unités d’observations de type (u, t_i), c’est-à-dire qu’on s’intéresse à l’état de l’entité/personne u à des moments différents t₁, t₂, etc. Quand on écrit “quel que soit (u, t)”, seul t varie.

La loi (XY, α, β) est une loi inter-individuelle si la variable XY est définie sur une population d’unités d’observations de type (u, t_{u, i}), où on fait varier aussi bien les entités u que les moments t_{u, i} où on les décrit. En d’autres termes, la population Ω la réunion des populations Ω_u, Ω_v, Ω_w, etc., où u, v, w, etc. sont les entités possibles.

3. Loi partiellement déterministe

Une loi partiellement déterministe sur [Ω, M(XY)] est le couple (α, β) tel que :

• α est un sous-ensemble non-vide de M(X),
• β est un sous-ensemble strict d’au moins deux points de M(Y),
• quel que soit (u, t), si X(u, t) ∈ α, alors Y(u, t) ∈ β,
• ce qui équivaut à Pr[Y(u, t) ∈ β|X(u, t) ∈ α] = 1 ou encore à Pr[Y(u, t) ∉ β|X(u, t) ∈ α] = 0.

β joue le rôle d’une description en “ou… ou” du phénomène et α celui de sa condition suffisante. Connaissant X(u, t) ∈ α, on ne peut prédire la valeur exacte de (u, t) par Y (indétermination partielle) ; mais on peut exclure les valeurs de l’ensemble ¬β, complémentaire à β (détermination partielle).

Comme dans le cas d’une loi complètement déterministe, l’existence d’un (u, t) tel que XY(u, t) se trouve dans l’ensemble α × ¬β est un falsificateur de la loi.

4. Lois complètement indéterministes

Les lois complètement indéterministes n’excluent aucun état possible dans M(Y) conditionnellement à l’état explicatif α. Il n’est plus possible d’utiliser la notion de condition suffisante d’un phénomène. En effet, pour tout (u, t), si la condition α est réalisée, l’état β est réalisé ou n’est pas réalisé. Autrement dit, la loi ne dénie rien (cf. Popper, 1973), elle n’a pas de falsificateur (et n’est donc pas falsifiable). La connaissance apportée par α porte sur une nouvelle notion, la probabilité que l’état β se réalise en (u, t) lorsque α se réalise en (u, t).

Attention ! Si on remplace la phrase qui précède par “la probabilité que l’état β se réalise lorsque α se réalise“, on perd de vue le support ontologique des phénomènes. Considérons l’état conjoint dans M(XY) des unités d’observation (u, t_{u, 1}), (u, t_{u, 2}) et (v, t_{v, 1}). À priori, la probabilité que l’état β se réalise en (u, t_{u, 1}) lorsque α se réalise en (u, t_{u, 1}) n’est pas nécessairement égale à la probabilité que l’état β se réalise en (u, t_{u, 2}) lorsque α se réalise en (u, t_{u, 2}) ; de même, il n’est pas évident que ces deux probabilités soient égales à la probabilité que l’état β se réalise en (v, t_{v, 1}) lorsque α se réalise en (v, t_{v, 1}). On va voir qu’il est possible de soutenir la nécessité théorique de l’égalité de ces probabilités.

Une loi complètement indéterministe sur [Ω, M(XY)] est le triplet (α, β, π) tel que

• α est un sous-ensemble non-vide de M(X),
• β est un point de M(Y),
• quel que soit (u, t), il existe un unique π ∈ ]0, 1[ tel que Pr[Y(u, t) = β|X(u, t) ∈ α] = π.

Dans le cas d’une loi intra-individuelle, la loi binomiale teste l’hypothèse nulle “quel que soit t, Pr[Y(u, t) = β|X(u, t) ∈ α] = π“. Autrement dit, si u existe dans l’ensemble des moments d’observation {t₀, t₁, …, t_n}, rejeter l’hypothèse nulle consiste à rejeter la proposition

Pr[Y(u, t₀) = β|X(u, t₀) ∈ α] = π

et

Pr[Y(u, t₁) = β|X(u, t₁) ∈ α] = π

et … et

Pr[Y(u, t_n) = β|X(u, t_n) ∈ α] = π.

Il suffit qu’il existe un moment t_i tel que Pr[Y(u, t_i) = β|X(u, t_i) ∈ α] ≠ π pour que l’hypothèse nulle soit fausse. D’un point de vue théorique, si on suppose que la probabilité qu’une entité donnée soit dans l’état β dépend du fait qu’elle soit dans l’état α, on sous-entend que le temps ne détermine pas cette probabilité — seulement l’état α. Ceci permet d’exclure la possibilité que la probabilité dépende d’autre chose que de l’état de l’entité du point de vue de M(Y). Le problème théorique consiste à déterminer les prémisses qui permettent de déduire la valeur π.

Supposons le problème théorique réglé — s’il n’est pas réglé, il n’y a pas d’hypothèse théorique à tester. Le problème pratique consiste à déterminer une fréquence contre laquelle tester l’hypothèse. Il s’agit d’effectuer un relevé d’observations en différents moments t₁, t₂, …, t_m. À tout moment, on observe si u se trouve dans l’état α ou bien dans l’état ¬α et dans l’état β ou ¬β. Parmi les occurrences où u se trouve dans l’état α, on compte le nombre de fois où β est réalisé, ce qui permet de calculer (et non pas mesurer) la fréquence Fq(β|α).

Un tel relevé d’observations suppose que l’existence de l’entité u ne dépende pas de l’état dans lequel elle se trouve du point de vue de M(XY). Si on s’intéresse par exemple à l’état β “tentative de suicide”, si une tentative de suicide entraîne la mort de l’entité, il n’est plus possible d’acquérir l’information empirique nécessaire pour tester l’hypothèse nulle.

Il faut maintenant aborder le problème du passage d’une loi intra-individuelle à une loi inter-individuelle. Considérons les entités u et v et les lois intra-individuelles

“quel que soit t_{u, i}, Pr[Y(u, t_{u, i}) = β|X(u, t_{u, i}) ∈ α] = π_u“

et “quel que soit t_{v, j}, Pr[Y(v, t_{v, j}) = β|X(v, t_{v, j}) ∈ α] = π_v“.

La question est de savoir si π_u = π_v. Si on admet que les probabilités sont distinctes, de quoi dépend cette différence ? Lorsqu’on écrit qu’un état β dépend d’un état α, on écrit que ce qui différencie les entités hors du champ sémantique de M(XY) n’est pas pertinent pour expliquer la probabilité de l’état β, c’est-à-dire que les états qu’on néglige de prendre en compte en ne les décrivant pas ne déterminent pas la probabilité de l’état β (cf. Popper, 1992).

Si on dispose d’une théorie qui permet de calculer (c’est-à-dire de déduire) la probabilité π pour toute entité, il n’est pas nécessaire qu’une entité particulière soit réutilisable une fois qu’on l’a observée. L’hypothèse peut être testée sur la base de l’agrégation d’un grand nombre d’entités.

Si on ne dispose d’aucune théorie de laquelle déduire la valeur de la probabilité, que ce soit π_u ou π_v, la discussion risque de nous entraîner vers des querelles dont le règlement ne peut pas être scientifique. Si on sait déduire la valeur d’une probabilité et si on sait tester cette valeur contre l’évidence accumulée (une fréquence), on peut discuter sur une base empirique : si on n’arrive pas, malgré des efforts convaincants, à réfuter la déduction, on peut bien croire en l’existence des probabilités (propensions poppériennes) en même temps qu’on défend la théorie qui permet leur calcul (et non pas leur mesurage), et on pourra discuter la question de l’égalité des deux probabilités sur une base scientifique (théorique et empirique). Sinon, soit on décide de croire (foi) soit on décide de ne pas croire (athéisme) en l’existence de cette valeur. L’utilisation de développements statistiques qui ne s’adossent à aucune théorie permettant de déduire ne serait-ce qu’une valeur de probabilité constituent une forme mathématisée de pensée religieuse, où cette pensée se substitue à la pensée théorique. L’opacité que constitue la technicité mathématique pour le non-mathématicien masque le statut religieux de l’emploi de la notion de probabilité (cf.  Allouche, 26a).

5. Autres remarques sur la testabilité

Une loi complètement ou partiellement déterministe (α, β) définie sur un référentiel d’observation [Ω, M(XY)] est testable parce qu’elle implique la possibilité logique d’une unité d’observation (u₀, t₀) telle que XY(u₀, t₀) ∈ α × ¬β. La loi peut être falsifiée par une seule observation mais sa corroboration doit être effectuée entité par entité plutôt qu’en échantillonnant un agrégat d’entités : la méthodologie de recueil des données dépend de l’objectif de falsification ou de corroboration qu’on se donne.

Un exemple de loi complètement déterministe est un processus de mesurage défini sur une population Ω₀ construite à partir d’une personne u₀. Le référentiel d’observation est [Ω₀, [0, max] × M(X)]. Quelques soient t₁ et t₂ tels que t₁ ∩ t₂ = Ø, si Q(u₀, t₁) ≥ (resp. ≤) Q(u₀, t₂), alors X(u₀, t₁) ≥ (resp. ≤) X(u₀, t₂) (voir 11a). Bien que la condition “Q(u₀, t₁) ≥ (resp. ≤) Q(u₀, t₂)” ne soit pas observable, la loi est testable car X(u₀, t₁) et X(u₀, t₂) peuvent logiquement être incomparables, fait théoriquement impossible.

Une loi complètement indéterministe (α, β) définie sur un [Ω, M(XY)] suppose que l’état de tout u en Y soit intrinsèquement indéterminé à tout moment t. Ce n’est pas vrai par exemple lorsqu’on considère l’état infecté ou non d’une personne à tel moment : la probabilité qu’elle soit infectée vaut 0 ou 1 (voir aussi l’exemple sur le climat et les remarques de Harré et Venn). Le test d’une loi complètement indéterministe nécessite une politique (convention) pour définir un critère de rejet de la loi. Mais attention, absence de rejet ne signifie pas corroboration : la corroboration suppose la non-falsification et, comme une loi complètement indéterministe n’est pas falsifiable par définition (une probabilité nulle est théoriquement exclue), elle ne peut pas être non-falsifiée, condition nécessaire à la corroboration.

Dans le domaine de la modélisation psychométrique de la réponse à l’item, la condition α est définie en référence à un espace latent, ce qui a pour conséquence qu’il est impossible de déterminer des fréquences conditionnelles.

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