# Karl Popper on probability statements

I characterise probability statements as derived hypotheses (or predictions) about sequence of events. (They do not establish any laws or predictions about the properties of individual events, but rather laws or predictions about the properties of sequences of events.) This constitues their distinguishing feature.

In order to underscore the fact that the special character of probability statements must also be deducible from the character of the assumptions, I have stressed that these statements are derived hypotheses. We can only appreciate that which is important about probability statements when we understand what typifies their assumptions.

The typical features of these assumtions are characterised: (1) by the fact that the assumptions known to us (natural laws and special conditions [« initial conditions »]) are not sufficient for the deduction of a prediction about an individual element in the sequence of events; (2) by the fact that we cannot formulate a law for the missing conditions; from this we infer the proposition that these randomly changing conditions partly compensate each other (if, as it were, a plurality of events gives them the opportunity of doing so); so that the sequence of events rather than its individual elements can be assumed to be partly independent « of the conditions about which we have no detailed knowledge ». (p. 151)

Popper, K. (2012). The two fundamental problems of the theory of knowledge. London: Routledge Classics. (Originally published 1978)

# Willard Quine sur la prédiction

La prédiction est … l’anticipation conjecturale de données sensibles ultérieures venant confirmer une conclusion déjà tirée. Lorsqu’une prédiction est infirmée, ce que nous avons, c’est une stimulation sensorielle divergente et troublante, qui tend à inhiber cette conclusion passée déjà faite, et ainsi affaiblit les conditionnements de phrase à phrase qui conduisaient à cette prédiction. C’est ainsi que les théories dépérissent lorsque les prédictions faillissent.

Dans un cas extrême, la théorie peut consister en des connexions si fermement conditionnées entre phrases qu’elles résistent à l’échec d’une ou de deux prédictions. Nous nous trouvons excuser la faillite de nos prédictions comme le résultat d’une méprise dans l’observation, ou comme le résultat d’une interférence inexpliquée. Ainsi, dans un cas extrême, c’est la queue qui remue le chien. (p. 48)

Quine, W. V. A. (1977). Le mot et la chose. Paris : Flammarion. (Original publié en 1960)

Voir aussi Popper (1934/1973).

# Willard Quine sur l’apprentissage du langage

Il n’y a pas deux individus qui apprennent le langage de la même manière, et nul n’a fini de l’apprendre tant qu’il est encore en vie. (p. 41)

Quine, W. V. A. (1977). Le mot et la chose. Paris : Flammarion. (Original publié en 1960)

# 46a. Quelques notions mathématiques utiles en psychologie

Ce billet signale quelques notions (objets) mathématiques qui me semblent utiles (pour ne pas dire indispensables) si on veut aborder efficacement les problèmes tant théoriques que méthodologiques en psychologie dès la première année. L’objet le plus important est la relation binaire, qui est fabriquée avec les objets ensemble et élément. Les autres objets sont des propriétés de ces trois objets, ou des propriétés de ces propriétés. Pour compléter le tableau, il faut aussi mentionner les processus de dénombrement (voir 20a) et de l’implication logique (voir 38a). La présentation est volontairement non-systématique pour faciliter la saisie intuitive des notions.

1. Ensemble et éléments

Un ensemble est une collection d’éléments distincts qui possèdent une propriété commune. Un cas limite est l’ensemble vide.

Le cardinal d’un ensemble est le nombre de ses éléments (le cardinal est une propriété d’un ensemble).

2. Relation binaire

Une relation binaire est un ensemble de liens qui relient les éléments d’un ensemble de départ aux éléments d’un ensemble d’arrivée.

Le graphe d’une relation binaire est l’ensemble de tous les couples ainsi formés (liens de la relation).

3. Produit cartésien de plusieurs ensembles et m-uplets

Un ensemble peut être le produit cartésien de plusieurs ensembles (être un produit cartésien est une propriété d’un ensemble). On forme le produit cartésien de plusieurs ensembles en combinant tous les éléments du premier ensemble avec tous les éléments du second ensemble etc. (dénombrement).

Considérons une relation binaire de D dans A. Son graphe est un sous-ensemble de D × A, le produit cartésien de D et A.

Les éléments d’un produit cartésien sont des m-uplets, où m est le nombre d’ensembles qu’on combine (être un m-uplet est la propriété d’un élément).

4. Fonction ou application

Une fonction ou une application1 est une relation binaire telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule image (i.e., est relié à un et un seul élément dans l’ensemble d’arrivée). Être une fonction ou une application est une propriété d’une relation binaire.

Exemple : une variable statistique est une application de la population statistique dans l’ensemble des modalités de la variable.

5. Relation d’ordre

Une relation d’ordre est (la propriété d’)une relation binaire dont l’ensemble d’arrivée et l’ensemble de départ sont le même ensemble — on dit alors qu’une relation d’ordre est définie sur, ou encore ordonne un ensemble. On note xy la relation de x à y, où « ≤ » peut se lire « plus petit ou égal à ».

Une relation d’ordre a les propriétés de réflexivité, d’antisymétrie et de transitivité (voir l’article Relation d’ordre sur Wikipédia). En gros une relation d’ordre ≤ sur un ensemble établit que l’ordre des éléments x et y dans l’expression xy compte (a un sens).

Une relation d’ordre peut avoir la propriété d’ordre simple (ou total, complet, connecté), c’est-à-dire que deux éléments quelconques de l’ensemble ordonné sont ordonnés (par exemple, l’ensemble des nombres naturels est simplement ordonné).

Le produit cartésien formé par des ensembles simplement ordonnés est ordonné par la relation d’ordre dite « produit direct » qui permet de définir la comparabilité de deux m-uplets (voir 32a), mais il n’est pas simplement ordonné. On dira que cet ensemble est un ordre partiel au sens restrictif du terme (i.e., il existe au moins deux éléments incomparables, c’est-à-dire qui ne peuvent pas être ordonnés l’un à l’autre)2.

6. Fonction croissante

Une fonction F de D dans A est croissante si quels que soient x et x‘ de D, x < x‘ => F(x) ≤ F(x‘). Je soutiens que la mesurabilité de quantités dans un ensemble Q par des observations dans un ensemble O implique l’existence d’une fonction croissante de Q dans O (voir 3a).

1. On néglige ici la différence entre fonction et application. []
2. Tout ordre étant par définition un ordre partiel, dire qu’un ensemble est un ordre partiel pour dire qu’il est un ordre non-simple constitue un abus de langage qu’on corrige aisément en ajoutant « au sens restrictif du terme ». []