38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique

Pour raisonner logiquement, respectons les règles de la logique. Ce billet présente les règles logiques de la négation, de la conjonction (et), de la disjonction (ou) et de l’implication avec des diagrammes et des tables de vérité.

Une proposition quelconque sera notée par une lettre majuscule. Soit A une proposition. Il faut distinguer deux intentions lorsqu’on articule des propositions : l’intention affirmative (A) et l’intention référentielle (A est une proposition)1. Lorsqu’on dit « A », on affirme A (on se positionne en acceptant le contenu de A). Lorsqu’on dit « A est une proposition », on affirme que A est une proposition, on se réfère à A sans se positionner sur A. On exclut aussi l’intention qui consiste à faire semblant d’affirmer (d’où la possibilité que l’application du logicien à formuler les problèmes de manière logique le fasse passer pour un naïf et, peut-être, la difficulté de faire de la politique de manière logique).

1. La négation (non-A, notée ¬A)

Logique non-ASoit A : quelque chose est un a. ¬A se lit : quelque chose n’est pas un a. Remplaçons quelque chose par x (cf. la figure ci-dessus ; tout ce qui est un a est mis dans l’ensemble a) : A est vraie et ¬A est fausse parce que x est un a. Remplaçons quelque chose par y, A est fausse et ¬A est vraie parce que y n’est pas un a.

Les valeurs de vérité de ¬A en fonction des valeurs de vérité de A sont représentées dans la table de vérité ci-dessous.

Table non-ALa ligne 1 se lit : si A est fausse (si on rejette A) alors ¬A est vraie (on accepte ¬A). Ou encore (voir 4), (A = 0) => (¬A = 1). La ligne 2 se lit : si A est vraie alors ¬A est fausse. Ou encore (voir 4), (A = 1) => (¬A = 0).

Exercice 1 : Montrer que ¬(¬A) = A — que la colonne A est identique à la colonne ¬(¬A).

Table non(nonA)

2. La conjonction (A et B, notée A ∧ B)

Logique A et B

Soit B : quelque chose est un b. A ∧ B est vraie pour x, fausse pour w, y et z.

Table A et BLa table de vérité ci-dessus représente la même information : si A est fausse et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est fausse et B vraie alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et si B vraie alors A ∧ B est vraie.

Exercice 2 : montrer que A ∧ (¬A) est fausse. (réponse : si A est vraie, ¬A est fausse ce qui correspond au cas w ; si A est fausse, ¬A est vraie ce qui correspond au cas y.)

3. La disjonction (A ou B, notée A ∨ B)

Logique A et BA ∨ B est fausse pour z, vraie pour w, x et y.

Table A ou B

Si A et B sont fausses alors A ∨ B est fausse, etc.

4. L’implication (A => B)

Logique A et B

A => B est fausse pour w, vraie pour x, y et z.

 Table A impl B

Si A et B sont fausses alors A => B est vraie (ce qui n’est pas intuitif), etc.

Exercice 3 (contraposée) : montrer que (A => B) = (¬B => ¬A) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬B => ¬A). (réponse : on déduit les valeurs de ¬B et de ¬A ligne par ligne en fonction des valeurs de A et de B ; ensuite on applique la définition de (A => B) à (¬B => ¬A) ligne par ligne ; enfin on constate que les colonnes sont identiques ; voir aussi Notturno, 2000))

Table ex3

Vocabulaire : A est une condition suffisante de B ; B est une condition nécessaire de A.

Exercice 4 : montrer que (A => B) = (¬A ∨ B) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬A ∨ B).

Table ex4

Exercice 5 (à partir de la tâche de sélection de Wason, 1968) : si une carte porte une voyelle d’un côté, alors elle porte un nombre impair de l’autre côté. On présente les quatre cartes E C 5 4. Quelles cartes faut-il retourner pour tester la règle ?  (réponse : le falsificateur de la règle est une carte « voyelle et pair » ; il faut donc retourner les cartes E et 4.)

Référence

Wason, P. C. (1968). Reasoning about a rule. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 20, 273-281.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique", in Épistémologie de la psychologie, 22/03/2016, https://epistemo.hypotheses.org/3470.

  1. Dans le premier cas, on utilise le langage comme un langage-objet tandis que dans le second, on utilise le langage comme un méta-langage, le langage qui permet de parler du langage-objet. []

8 réflexions au sujet de « 38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique »

  1. moineau

    Pourquoi quand on dit « A » on affirme « A » (ou O) en se positionnant et quand on dit -O on ne se positionne pas, (cf polycop, on ne fait que contredire O) ?? Pourtant on DIT l’un ou l’autre ? Est-ce que dire – O c’est forcément argumenter en disant -O ou simplement énoncer -O ? Je ne vois pas de différence de positionnement si une personne dit « le ciel est bleu » et l’autre « le ciel n’est pas bleu »

    Merci

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    1. Stéphane Vautier Auteur de l’article

      « A », comme notation générique de n’importe quelle proposition (par exemple, A = « le ciel n’est pas bleu »), désigne une position (ou un positionnement). Une position en tiers exclu est une affirmation ou une négation (ceci est relatif, par exemple, la négation de « le ciel n’est pas bleu » est « le ciel est bleu »). On peut prendre une position sans nécessairement qu’elle soit argumentée.

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  2. Tebeurk

    Si la conjonction correspond au fait d’avoir A et B en même temps :
    ligne 1 : si qq chose n’est pas un a (A=0) et en même temps n’est pas un b (B=0) je comprends que cela corresponde à z. Par contre la simultanéité étant respectée pourquoi A ∧ B est fausse pour z, et non vraie pour z (avec la contrainte que A et B soient doncfausses en même temps). Où se trouve mon absence de logique ? (même remarque pour lignes 2 et 3)

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    1. Stéphane Vautier Auteur de l’article

      La vérité des propositions logiques est intemporelle, non datée. Si on veut introduire le temps, on peut par exemple préciser « A est vraie à telle date » — et alors, la proposition « A est vraie à telle date » est quand même vraie ou fausse de manière intemporelle.

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  3. MarieB

    A propos des points:

    3. La disjonction (A ou B, notée A ∨ B)
    Je remplacerais « En se reportant au diagramme vu en 2, A ∨ B est fausse pour z, fausse pour w, x et y. » par « En se reportant au diagramme vu en 2, A ∨ B est fausse pour z, vraie pour w, x et y. »

    4. L’implication (A => B)
    La démonstration est difficile à suivre. Peut-être rajouter une phrase en exemple sur comment lire la table de vérité et en déduire que A=>B est vraie pour la première ligne.

    Petits détails:
    -Reproduire la figure 2 plusieurs fois car lorsqu’on déroule le texte, on la perd de vue… et le copier-coller ne fonctionne pas.

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  4. Jérémy

    Bonjour,

    Merci pour ces rappels des bases des la logique, permettant d’expliciter ce qui est parfois présupposé dans vos interventions notamment en licence à l’Université de Toulouse – Jean Jaurès, implicites perdant parfois des étudiants non familiarisés avec la logique. J’ai l’impression que beaucoup d’étudiants en psychologie de l’université de Toulouse – Jean Jaurès ne maîtrisent pas, ou du moins n’appliquent pas ces bases, aux hypothèses qu’ils considèrent, ce qui semble regrettable dans le cadre d’une discipline visant, pour une large partie du moins, la scientificité.

    J’ai en revanche cru noter une erreur dans le « 3. La disjonction (A ou B, notée A ∨ B) ». Il est en effet écrit :
    « En se reportant au diagramme vu en 2, A ∨ B est fausse pour z, fausse pour w, x et y. », ce qui est incompatible avec le diagramme, A v B étant vraie pour w, x et y.

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