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46a. Quelques notions mathématiques utiles en psychologie

Ce billet signale quelques notions (objets) mathématiques qui me semblent utiles (pour ne pas dire indispensables) si on veut aborder efficacement les problèmes tant théoriques que méthodologiques en psychologie dès la première année. L’objet le plus important est la relation binaire, qui est fabriquée avec les objets ensemble et élément. Les autres objets sont des propriétés de ces trois objets, ou des propriétés de ces propriétés. Pour compléter le tableau, il faut aussi mentionner les processus de dénombrement (voir 20a) et de l’implication logique (voir 38a). La présentation est volontairement non-systématique pour faciliter la saisie intuitive des notions.

1. Ensemble et éléments

Un ensemble est une collection d’éléments distincts qui possèdent une propriété commune. Un cas limite est l’ensemble vide.

Le cardinal d’un ensemble est le nombre de ses éléments (le cardinal est une propriété d’un ensemble).

2. Relation binaire

Une relation binaire est un ensemble de liens qui relient les éléments d’un ensemble de départ aux éléments d’un ensemble d’arrivée.

Le graphe d’une relation binaire est l’ensemble de tous les couples ainsi formés (liens de la relation).

3. Produit cartésien de plusieurs ensembles et m-uplets

Un ensemble peut être le produit cartésien de plusieurs ensembles (être un produit cartésien est une propriété d’un ensemble). On forme le produit cartésien de plusieurs ensembles en combinant tous les éléments du premier ensemble avec tous les éléments du second ensemble etc. (dénombrement).

Considérons une relation binaire de D dans A. Son graphe est un sous-ensemble de D × A, le produit cartésien de D et A.

Les éléments d’un produit cartésien sont des m-uplets, où m est le nombre d’ensembles qu’on combine (être un m-uplet est la propriété d’un élément).

4. Fonction ou application

Une fonction ou une application¹ est une relation binaire telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule image (i.e., est relié à un et un seul élément dans l’ensemble d’arrivée). Être une fonction ou une application est une propriété d’une relation binaire.

Exemple : une variable statistique est une application de la population statistique dans l’ensemble des modalités de la variable.

5. Relation d’ordre

Une relation d’ordre est (la propriété d’)une relation binaire dont l’ensemble d’arrivée et l’ensemble de départ sont le même ensemble — on dit alors qu’une relation d’ordre est définie sur, ou encore ordonne un ensemble. On note x ≤ y la relation de x à y, où “≤” peut se lire “plus petit ou égal à”.

Une relation d’ordre a les propriétés de réflexivité, d’antisymétrie et de transitivité (voir l’article Relation d’ordre sur Wikipédia). En gros une relation d’ordre ≤ sur un ensemble établit que l’ordre des éléments x et y dans l’expression x ≤ y compte (a un sens).

Une relation d’ordre peut avoir la propriété d’ordre simple (ou total, complet, connecté), c’est-à-dire que deux éléments quelconques de l’ensemble ordonné sont ordonnés (par exemple, l’ensemble des nombres naturels est simplement ordonné).

Le produit cartésien formé par des ensembles simplement ordonnés est ordonné par la relation d’ordre dite “produit direct” qui permet de définir la comparabilité de deux m-uplets (voir 32a), mais il n’est pas simplement ordonné. On dira que cet ensemble est un ordre partiel au sens restrictif du terme (i.e., il existe au moins deux éléments incomparables, c’est-à-dire qui ne peuvent pas être ordonnés l’un à l’autre)².

6. Fonction croissante

Une fonction F de D dans A est croissante si quels que soient x et x‘ de D, x < x‘ => F(x) ≤ F(x‘). Je soutiens que la mesurabilité de quantités dans un ensemble Q par des observations dans un ensemble O implique l’existence d’une fonction croissante de Q dans O (voir 3a).

On néglige ici la différence entre fonction et application. [↩]
Tout ordre étant par définition un ordre partiel, dire qu’un ensemble est un ordre partiel pour dire qu’il est un ordre non-simple constitue un abus de langage qu’on corrige aisément en ajoutant “au sens restrictif du terme”. [↩]

42a. Notations utiles pour conceptualiser précisément les données

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Dès qu’on veut s’exprimer par écrit pour pouvoir discuter avec un groupe de personnes à propos d’une question particulière, on a besoin d’un langage commun. Lorsque la discussion se veut scientifique, les notations facilitent grandement l’échange d’idées suffisamment détaillées pour être testées contre d’autres idées. Ce billet introduit la plupart des notations utiles pour discuter d’épistémologie et de méthodologie en psychologie, en partant d’exemples concrets.

1. Notations pour parler d’un questionnaire psychologique

Considérons le questionnaire d’estime de soi reproduit ci-dessous (source). Ses dix items forment une collection. Chaque item possède un format de réponse : ses quatre réponses possibles forment une collection.

La notion de collection est formalisée (mathématisée) par le terme “ensemble”. Le questionnaire d’estime de soi ci-dessus est un ensemble de 10 items (en négligeant la consigne commune à tous les items, qui ne fait pas partie de cet ensemble) ; le format de réponse d’un item quelconque du questionnaire est un ensemble de quatre réponses. On appelle éléments les objets qui constituent un ensemble.

Les éléments de l’ensemble des réponses possibles au premier item sont “Tout à fait en désaccord”, “Plutôt en désaccord”, “Plutôt en accord” et “Tout à fait en accord”. Pour indiquer le début et la fin de l’énumération, on utilise respectivement les symboles “{” et “}”. On a ainsi la notation

{Tout à fait en désaccord, Plutôt en désaccord, Plutôt en accord, Tout à fait en accord}.

On place les éléments les uns après les autres et on les sépare par une virgule suivie d’un espace. L’ensemble formé par les nombres 12,3 et 8,01 est noté {12,3 ; 8,01}.

Un ensemble est noté avec une lettre majuscule. On peut noter R l’ensemble des réponses possibles au premier item :

R = {Tout à fait en désaccord, Plutôt en désaccord, Plutôt en accord, Tout à fait en accord}.

L’expression ci-dessus est une phrase, donc on met un point à la fin ; elle se lit “R est égal à …”. On gagne en concision avec la notation R = {1, 2, 3, 4}, où les chiffres désignent chacun une réponse possible — notion d’échelle nominale, voir 40a.

Comment noter l’ensemble des items ? On pourra — soyons simples — utiliser I (i majuscule) pour “item”. Maintenant, on veut compléter la phrase I = {…}. On a besoin d’utiliser une notation pour représenter les 10 items, trop longs à recopier. Pourquoi ne pas utiliser 1, 2, etc. ? Mauvaise idée parce que les chiffres 1, 2, 3 et 4 désignent déjà des éléments de R. Alors pourquoi pas I1, I2, etc. ? C’est une possibilité. On aurait

I = {I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8, I9, I10}.

Comme il est fastidieux de lister chacun de ces 10 éléments ! Une notation elliptique va nous rendre service :

I = {I1, I2, …, I10}.

On indique, à l’aide des deux premiers éléments, comment on passe d’un élément au suivant (cf. les suites logiques des tests de logique, on passe de I1 à I2 en ajoutant 1 à l’indice de I) ; on n’a pas besoin de “I3, I4, I5, I6, I7, I8, I9”, qu’on remplace par les trois points ; et on a besoin de “I10” pour terminer la série.

Une possibilité plus élégante consiste à réserver les lettres majuscules aux ensembles et à utiliser des lettres minuscules pour les éléments. On pourrait envisager I = {a, b, …, j} ou, un peu plus lourd mais plus explicite, I = {i1, i2, …, i10}. Les puristes préfèreront mettre les minuscules en italique et les indices en indice, d’où

I = {i₁, i₂, …, i₁₀}

en acceptant de se battre un peu avec l’éditeur de texte mais c’est plus joli.

On veut maintenant une notation pour désigner l’ensemble des réponses à l’item i₈, de telle manière qu’on sache bien que la réponse “Plutôt en accord” à cet item ne désigne pas le même événement psychologique (ou comportemental) que l’événement psychologique qui s’est produit lorsque la réponse “Plutôt en accord” a été donnée à l’item i₂. On peut utiliser

R₈ = {1₈, 2₈, 3₈, 4₈},

notation qui permet d’exprimer que 3₈ n’est pas égal à 3₂ (qu’on écrit 3₈ ≠ 3₂). On peut omettre d’indicer les chiffres qui codent les réponses par pure flemme, mais on s’expose à des confusions comme 3₈ = 3₂ parce que 3 = 3 ou encore “Plutôt en accord” (à l’item n° 8) = “Plutôt en accord” (à l’item n° 2). Sur-simplifier les notations est acceptable si cela n’entraîne pas de confusion conceptuelle ; dans cette perspective flemmarde et lucide, on écrira alors

R₈ = {1, 2, 3, 4}.

On veut maintenant pouvoir parler de n’importe quel item de I. Pour cela, on peut se donner un indice j (en italique) et utiliser le procédé suivant : le jième item de I est l’item i_j. Si on veut exprimer que ce qu’on dit d’un item particulier est valable pour tout item de I, comme par exemple, “cet item a quatre réponses possibles”, on peut dire

pour tout j = 1, 2, …, 10, l’item i_j a quatre réponses possibles.

Si on veut être encore plus concis on peut remplacer “pour tout” par le symbole “∀” (qui se lit aussi “quel que soit”). Les puristes de la notation ne seront toutefois pas satisfaits de la syntaxe “j = 1, 2, …, 10″ et ils auront raison, parce que j ne peut pas être égal à la série 1, 2, …, 10. On peut tolérer cet abus de langage, toutefois facile à éviter. Comment améliorer la notation ? On peut écrire

∀ j appartenant à {1, 2, …, 10},

qui interdit d’interpréter j comme une série parce que j ne peut que prendre successivement les valeurs 1, 2, …, 10. Le symbole pour exprimer de manière concise l’appartenance à un ensemble est ∈. On peut écrire

∀ j ∈ {1, 2, …, 10}, i_j a quatre réponses possibles.

Une notation concise pour exprimer le nombre d’éléments que contient un ensemble E existe et elle va être utile ici. Ce nombre s’appelle un cardinal (mais si un nombre peut être un cardinal, un cardinal peut ne pas être un nombre parce que l’infini n’est pas un nombre et qu’il existe des ensembles contenant une infinité d’éléments, cf. section 4). On utilise la notation |E| — et non pas /E/ qui ne veut rien dire dans ce contexte et il faut prendre la peine de trouver comment faire le symbole “|” sur son clavier. Ainsi, les expressions |I| = 10 et |R_j| = 4 sont concises et précises dès lors qu’on sait à quoi elles réfèrent. En cas de doute, il faut expliciter.

Comment écrire en “concis et précis” l’idée, formulée de manière imprécise, que les items de ce questionnaire ont quatre réponses possibles ? En écrivant

∀ j ∈ {1, 2, …, 10}, |R_j| = 4, avec R_j le format de réponse de l’item j.

Double indiçage. Maintenant, on veut pouvoir noter n’importe quelle réponse à n’importe quel item, comme par exemple la réponse “Plutôt en accord” à l’item “Je suis capable de faire les choses aussi bien que la majorité des gens”. Il suffit d’appliquer la procédure qui permet de repérer n’importe quelle case d’un damier, formé par l lignes et c colonnes, à l’aide du numéro de ligne et du numéro de colonne. Ici, le “damier” du questionnaire est formé par les l = 10 lignes des items et les c = 4 colonnes des réponses à l’item. N’importe quelle case du “damier”, c’est-à-dire n’importe quelle réponse élémentaire, correspond à l’intersection d’une ligne et d’une colonne et on peut la repérer par le double indice i.j, où i = 1, 2, …, 10 et j = 1, 2, 3, 4. La réponse dont on parle dans cet exemple peut être notée r_4.3, où le double indice signifie que c’est la troisième réponse du format de réponse du quatrième item. L’ordre ligne-colonne (li-co) pour le double indiçage est une convention qui s’applique aussi aux tables de contingence.

Ordre. Lorsqu’on délimite les éléments d’un ensemble par des accolades, comme dans E = {a, b, c}, on ne précise pas si ces éléments sont ordonnés. La notation E = {b, c, a} est correcte. Pour indiquer expressément que les éléments d’un ensemble sont ordonnés (par défaut, dans l’ordre croissant), on les encadre avec des parenthèses. Si l’ordre alphabétique a un sens pour E et qu’on veut l’exprimer clairement, on peut écrire E = (a, b, c), qui devient alors un triplet (voir 20a).

Comme les réponses aux items du questionnaire constituent ce qu’on appelle une échelle de Likert, c’est-à-dire une échelle ordinale (cf. 40a), on peut noter cet ensemble par

R_j = (1, 2, 3, 4) avec j = 1, 2, …, 10,

bien que ce ne soit pas nécessaire. Cette notation est nécessaire lorsqu’on veut désigner une réponse particulière au questionnaire parce que l’ordre dans lequel on recopie les réponses indique l’ordre des items. Ainsi, le 10-uplet (1, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 4) est noté avec des parenthèses. On sait grâce à cette notation que la réponse à l’item numéro 9 est la troisième réponse du format de réponse, c’est-à-dire “Plutôt en accord”.

Comme le questionnaire comporte des items positifs et des items négatifs, les chiffres contenus dans ce 10-uplet ne peuvent pas être additionnés pour calculer le score correspondant à cette réponse — il faut d’abord procéder à un recodage des réponses aux items négatifs. L’ensemble des scores possibles à ce questionnaire est bien entendu ordonné et on l’appelle une échelle de scores, qu’on notera pourtant

S = {10, 11, …, 40} (S pour score ou scale).

L’usage de considérer cette échelle comme une échelle ordinale au sens de Stevens (1946) n’est pas correct puisque cette échelle n’est pas une échelle nominale : en effet, selon Stevens, une échelle nominale suppose un isomorphisme (c’est-à-dire, ici, une bijection ou encore une correspondance bi-univoque) entre l’ensemble des objets auxquels on attribue un nombre et l’ensemble des nombres ainsi attribués.

Notons D = {(1, 1, …, 1), (1, 1, …, 2), …, (4, 4, …, 4)} l’ensemble de tous les 10-uplets possibles (D pour descriptions possibles de la réponse au questionnaire). On a |D| = 4¹⁰ et |S| = (40 – 10) + 1 = 31, ce qui implique qu’il existe au moins un score qui décrit (ou, selon le langage de Stevens, mesure) plus d’un 10-uplet de réponses. Par exemple, le score 11 décrit 10 10-uplets différents qu’on obtient en déplaçant le nombre 2 dans (1, 1, …, 1, 2). Pas de correspondance bi-univoque entre D et S, donc S n’est pas une échelle nominale de D. Or une échelle ordinale est une échelle nominale dotée d’une relation d’ordre, héritée d’une relation d’ordre dans l’ensemble des objets ainsi “mesurés”. Si S ne constitue pas une échelle nominale pour D, elle ne peut constituer une échelle ordinale pour D ; l’ordre de S n’a pas de signification descriptive qu’on puisse référer aux propriétés nominales ou ordinales de D (cf. aussi Costa et McCrae, 2007).

2. Notations pour parler de “variables de questionnaires”

L’expression “variable de questionnaire” est utile pour attirer l’attention sur les deux termes ainsi concaténés mais elle est imprécise. Comme une variable statistique est, par définition, une application qui, à toute unité statistique de son ensemble de départ, associe une et une seule image dans son ensemble d’arrivée, une “variable de questionnaire” désigne une variable statistique dont l’ensemble d’arrivée est l’ensemble des réponses possibles au questionnaire, noté D, ou l’ensemble des scores possibles au questionnaire, noté S.

On note Ω la population statistique, ensemble de départ (ou de définition) d’une variable statistique. Les éléments de Ω, appelés unités statistiques, sont notés ω. On note les variables avec des majuscules. La notation

X : Ω → D

indique que la variable X est définie sur Ω et prend ses valeurs dans D. La notation

X(ω) = x

indique que l’image de ω par X est la valeur x de D. Dans le cas du questionnaire d’estime de soi utilisé comme exemple ici, x est un 10-uplet.

Lorsqu’on associe le concept de variable à un questionnaire, les unités statistiques correspondent à des personnes e (pour entité) qui répondent au questionnaire à un moment t et on a ω = (e, t). Dans ce cas, les unités statistiques sont des unités d’observation parce qu’il faut avoir fait passer le test à quelqu’un à un certain moment pour que sa réponse au test existe (soit un fait). Par conséquent, raisonner sur des variables de questionnaires définies sur des populations parentes de cardinal infini, i.e., qui servent de réservoirs à des échantillons d’unités d’observation, est une vue de l’esprit contradictoire puisque les unités statistiques qui ne sont pas des unités d’observation n’ont pas d’image dans D.

Plusieurs échelles de scores. Il est courant en psychologie de faire passer plusieurs questionnaires à un échantillon de personnes. En négligeant le fait que les différents questionnaires ne peuvent être passés en même temps par une personne donnée et en considérant que les questionnaires ont été administrés à un moment t, les scores obtenus à chaque questionnaire par une personne e à t constituent un m-uplet de scores. Par exemple, une étude empirique qui serait fondée sur l’administration de 13 questionnaires à 60 personnes permet de construire la variable

X = (X₁, X₂, …, X₁₃) : Ω₆₀ → S = S₁ x S₂ x … x S₁₃,

où X_j : Ω₆₀ → S_j, j = 1, 2, … 13, est la variable qui associe un score au questionnaire numéro j à toute unité d’observation de l’échantillon. La notation S₁ x S₂ x … x S₁₃ désigne le produit cartésien des 13 échelles de scores associées aux 13 questionnaires. Ce produit cartésien est, par définition, l’ensemble de tous les 13-uplets de scores possibles.

La même batterie de questionnaires administrée plusieurs fois. Il est courant en psychologie qu’une même batterie de questionnaires (ou de tests psychotechniques) soit administrée plusieurs fois à un même échantillon de personnes. Considérons le cas le plus simple d’un test-retest (ou pré-test-post-test). Une unité d’observation a la forme ω = (e, t₁, t₂) où t₁ et t₂ désignent les moments du test et du retest, respectivement. On peut généraliser la notation avec ω = (e, t) où t (en gras et pas en italique) désigne le m-uplet de moments (t₁, t₂, …, t_m).

Comment noter une variable correspondant à un tel design ? Il y a plusieurs façons de faire et ce qui importe est que le système de notation soit explicite et efficace. On n’utilisera pas la notation (X₁, X₂, …, X_m), déjà été utilisée ci-dessus pour un design strictement transversal (un seul moment par unité d’observation et plusieurs questionnaires indicés par des numéros). Une approche économique, mais peu courante en psychologie, consiste à définir la variable

X_j : Ω₆₀ → S_j x S_j

qui, à toute unité d’observation de Ω₆₀, associe un et un seul 2-uplet de scores obtenus avec le questionnaire numéro j, le premier score correspondant au test et le second score correspondant au retest. Il est plus courant qu’on veuille pouvoir parler de la “variable pré-test” et de la variable “post-test”. Dans ce cas, on peut définir le couple de variables (qui est une variable bivariée)

(X_j, Y_j) : Ω₆₀ → S_j x S_j

où X et Y servent à noter la variable pré-test et la variable post-test, respectivement. On a donc, dans le cas d’une batterie de 13 questionnaires administrés deux fois, 13 couples de variables à considérer, de telle sorte que chaque unité d’observation soit décrite par un 13-uplet de scores au pré-test et un 13-uplet de scores au post-test — ce qui donne un 2-uplet de 13-uplets. Il suffit de définir la variable

(X , Y) : Ω₆₀ → S x S

où X = (X₁, X₂, …, X₁₃) : Ω₆₀ → S = S₁ x S₂ x … x S₁₃et Y = (Y₁, Y₂, …, Y₁₃) : Ω₆₀ → S = S₁ x S₂ x … x S₁₃désignent les variables pré-test et post-test, respectivement. La variable (X, Y) associe à toute unité d’observation un et un seul 2-uplet de 13-uplets de scores.

3. Application à Camart et al. (2006)

L’avantage de ce type de notation est d’inciter à penser précis et la précision est ici associée à la lucidité scientifique (l’imprécision étant alors associée à un manque de lucidité scientifique). Par exemple, examinons le résumé de Camart et al. (2006) reproduit ci-dessous.

Sans précision, on retient l’idée générale : les résultats obtenus sont satisfaisants et la thérapie est validée “recommandable”.

Que signifie précisément l’expression “une amélioration significative des patients sur l’ensemble des variables mesurées” ? Il s’agit d’amélioration, c’est-à-dire de ce qui donne finalement satisfaction. L’objet d’amélioration est désigné par le terme “patients”. Ce terme, au pluriel, désigne l’échantillon des 60 personnes souffrant de phobie sociale sélectionnées pour cette étude. Que signifie l’amélioration d’un ensemble de personnes ? Comme l’étude rapporte des analyses portant sur des 2-uplets de 13-uplets de scores obtenus par chacune de ces personnes en pré- et post-test, les auteurs ont acquis des connaissances sur des scores qui décrivent les personnes lors des pré- et post-tests. La lucidité scientifique consiste ici à ne pas perdre de vue que les données analysées proviennent de réponses à des questionnaires. Ce dont les auteurs sont aptes à rendre compte scientifiquement, ce n’est pas l’amélioration de personnes et ou d’un groupe de personnes, mais l’amélioration de scores. Quoiqu’ils soient qualifiés de “mesures”, ces scores ne mesurent pas de grandeur psychologique mais un niveau de satisfaction des réponses, opérationnalisé par une règle de codage et d’agrégation numérique des réponses, condition nécessaire pour que ce qui est ainsi mesuré soit un niveau d’amélioration ou de satisfaction… des réponses.

Lorsqu’on examine les résultats communiqués dans le Tableau 1 de l’article (ci-dessus), on constate que ce sont des moyennes de scores qui s’améliorent. Les auteurs considèrent l’ensemble {d₁, d₂, …, d₁₃} des 13 différences de moyennes. L’épingle “statistiquement significatif”, qui doit se trouver accrochée à chaque différence, résulte du cadre de référence habituel en statistique inférentielle, à savoir (i) la fiction d’un couple de variables normales défini sur une certaine population statistique, (ii) la convention selon laquelle les scores observés résultent d’un échantillonnage dans cette population statistique, (iii) le test de l’hypothèse nulle, invraisemblable et donc facile à réfuter, selon laquelle les deux variables X_j et Y_j ont la même moyenne.

Le point critique tient en ce ceci que l’amélioration des moyennes n’implique logiquement pas l’amélioration de (la symptomatologie phobique sociale de) chaque personne de l’échantillon, pour deux raisons indépendantes. La première tient au fait qu’un changement moyen n’implique pas un changement général. La seconde tient à ce que, loin de contester que la symptomatologie phobique sociale des patients ait pu avoir été améliorée entre le pré- et le post-test, on ne voit pas comment l’ensemble des 13-uplets de scores possibles permettrait de décrire un état momentané de cette symptomatologie, autrement dit, comment cet ensemble de 13-uplets constituerait ne serait-ce qu’une échelle nominale pour “mesurer”, au sens de Stevens (1946), la symptomatologie de la phobie sociale. Il eût fallu que cette symptomatologie ait été élaborée comme un ensemble d’objets ou d’événements, pour reprendre les termes de Stevens, pour qu’on puisse envisager d’attribuer des nombres ou des m-uplets de nombres à ces objets ou événements de manière intelligible. Au lieu d’une théorie claire de la symptomatologie, les auteurs utilisent une technique d’observation qui repose sur l’art du questionnaire et la volonté de donner satisfaction des patients eux-mêmes aux demandes de leurs soignants, alors qu’ils n’ont pas participé à l’élaboration des items du test, pour parler de ce que eux seuls expérimentent (la souffrance phobique).

La suppression de termes, de “les différences de moyennes d’un groupe de patients” à “les patients”, dans la phrase “les [longue allitération remplacée par] patients sont améliorés”, relève du jargon. Mais un étudiant débutant ou un lecteur profane peut s’y laisser tromper s’il n’interprète pas les propositions de manière précise. L’art de la notation peut aider, je l’espère, à éviter de grossières erreurs d’interprétation. Même si les 60 x 13 = 780 différences de scores étaient améliorées, il faudrait rester lucide sur le fait que les résultats ne signifient que ce qu’ils signifient. Il n’y pas de patient amélioré du tout parce que la notion de “patient amélioré” n’a pas été définie par les auteurs.¹

4. Notations pour les échelles analogiques

Pour compléter cette introduction à la notation, prenons l’exemple d’une échelle analogique de douleur (cf. 36a), dont le format de réponse est un segment continu. Un segment continu est un ensemble borné à gauche et à droite, qui contient une infinité d’éléments (de points). On utilise des crochets fermés ou ouverts pour indiquer que les bornes appartiennent ou pas, respectivement, au segment.

Les bornes sont inclues dans le segment [0 cm, 10 cm]. Le segment ]4,9 cm ; 5,1 cm[ utilisé pour encadrer (mesure approchée) la marque d’une personne sur [0 cm, 10 cm] ne contient pas les bornes inférieure et supérieure.

Références

Camart, A., André, C., Trybou, V., & Bourdel, M.-C. (2006). Évaluation des effets à court terme d’une thérapie cognitivo-comportementale de groupe dans la phobie sociale : résultats auprès de soixante patients. L’Encéphale, 32, 1011-1018, cahier 1.
Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of mesurement. Science, 103, 677-680.

Un lecteur attentif et intéressé pourrait demander aux auteurs d’indiquer le nombre de différences de scores (d_i.j , i = 1, 2, …, 60 et j = 1, 2, …, 13), qui sont améliorées parmi les 780 différences qui ont pu être calculées, ainsi que le nombre de 13-uplets de scores qui se sont améliorés parmi les 60 2-uplets de scores qui ont pu être calculé. [↩]

40a. Les échelles de mesure : lire Stevens (1946)

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S. S. Stevens publie en 1946 son célèbre article “On the theory of scales of measurement”, que Tafreshi, Slaney et Neufeld (2016, p. 6) qualifient de contribution majeure du 20e siècle dans le domaine de la mesure en psychologie, et qui présente la fameuse catégorisation d’échelles numériques dites “de mesure”, à savoir les échelles “nominales”, “ordinales”, “d’intervalle” et “de ratio”, catégorisation qui est enseignée dans tout cours de psychologie quantitative. Chaque type d’échelle de mesure possède des règles de légitimité concernant les calculs qu’on peut appliquer aux nombres dont elles sont formées. J’en donne ici un commentaire critique du point de vue où mesurer, c’est utiliser l’hypothèse qu’il existe une fonction croissante, définie dans le segment [0, max] où “max” désigne la quantité la plus grande possible de la grandeur qu’on veut mesurer, à valeurs dans l’ensemble des observables qui sont utilisés comme des mesures de la grandeur (cf. 3a).

1. Aperçu de l’article

L’article (quatre pages) se compose d’une introduction, d’une section portant sur l’idée de classification d’échelles de mesure, de quatre sections respectivement consacrées à chaque type d’échelle et d’une conclusion.

L’introduction. Partant des travaux d’un comité de la British Association for the Advancement of Science, qui fût dédié à l’examen de la possibilité de mesurer les sensations, et retenant de son rapport final que la signification (meaning) du verbe “mesurer” reste discutable, l’introduction propose de “reconnaître que le mesurage [measurement] existe sous des formes variées et que les échelles de mesure [scales of measurement] tombent dans des classes bien définies” (p. 677) — avec des conséquences concernant la “légitimité” de certaines analyses statistiques.

La classification des échelles de mesure. Elle est appuyée sur une définition dite “au sens large” du mesurage, qui consiste en “l’attribution de nombres à des objets ou événements selon des règles” (p. 677). Ces règles reposent sur la notion-clé d’isomorphisme “entre ce que nous pouvons faire avec les aspects des objets et les propriétés des séries numériques” (p. 677).¹

L’échelle nominale. Il faut considérer une application définie dans un ensemble d’objets (ou d’événements au sens de la théorie des probabilités) et à valeurs dans un ensemble de modalités descriptives (les aspects des objets ou des événements). Une échelle nominale résulte du codage numérique de ces modalités. Le “mesurage nominal” consiste à identifier les modalités descriptives de la variable/application par un nombre. L’isomorphisme entre l’ensemble des modalités et l’ensemble des nombres consiste en une bijection, i.e., une relation bi-univoque qui attribue à toute modalité un nombre unique. Un exemple d’échelle nominale est l’ensemble {0, 1} comme ensemble d’arrivée de la relation dont le graphe est {(femelle, 0), (mâle, 1)}.

L’échelle ordinale. Il s’agit d’une échelle nominale ordonnée. L’isomorphisme entre l’ensemble des modalités et l’ensemble des nombres codant ces modalités est enrichi de la notion de conservation de l’ordre des modalités ; il suffit que les nombres servant à identifier les modalités soient ordonnés conformément à l’ordre des modalités. Un exemple d’échelle ordinale est l’ensemble (1, 2, 3, 4) comme ensemble d’arrivée de la relation dont le graphe est {(pas du tout d’accord, 1), (pas d’accord, 2), (d’accord, 3), (tout à fait d’accord, 4)} — ce qu’on appelle une échelle de Likert.

L’échelle d’intervalle. Soient x₁, x₂, x₃ et x₄ quatre valeurs distinctes d’une échelle d’intervalle. On s’intéresse au rapport des différences x₂ − x₁ et x₄ − x₃, c’est-à-dire à (x₂ − x₁)/(x₄ − x₃). Il se trouve que le rapport des différences (ax₂ + b) − (ax₁+ b) et (ax₄ + b) − (ax₃+ b), avec a > 0, est égal à (x₂ − x₁)/(x₄ − x₃) : les b s’annulent par différence et les a par division. Il n’est pas dit quelles sont les modalités dont on puisse ainsi considérer les différences, lesquelles supposent l’existence d’une fonction de mesurage affine reliant certains observables à une certaine grandeur (voir par exemple 36a). Lorsque Stevens utilise l’exemple du mesurage de la température par la longueur de la colonne de mercure dans un thermomètre, il ne pose pas le problème de la mesurabilité d’une quantité de température par une quantité de longueur, qui est un problème théorético-empirique. Il me semble que sa démarche est focalisée sur l’étiquetage numérique de modalités descriptives et les propriétés numériques autorisées pour ces étiquettes.

L’échelle de ratio. Soient x₁, x₂ deux valeurs distinctes d’une échelle de ratio. On s’intéresse au rapport x₂/x₁. Le rapport ax₂/ax₁, avec a > 0, est égal à x₂/x₁. Il n’est pas dit comment on peut établir, en général, que x₁ et x₂ puissent être mis en rapport ; c’est encore un problème théorético-empirique qui consiste à supposer que les valeurs numériques sont les images d’une fonction de mesurage linéaire (cf. 36a).

La conclusion. Stevens conclut en estimant avoir contribué, dans un esprit libéral et utilitaire, à une définition du mesurage qui réduit le problème du mesurage à un choix d’échelle de mesure guidé par les règles qu’on se donne pour représenter les objets ou événements à l’aide de nombres.

2. Commentaires

Remarque 1. Parce qu’elle rend le codage numérique nécessaire, une telle définition du mesurage est soit inutilement restrictive soit contradictoire. Restrictive, si on exclut que le mesurage puisse admettre une description non-numérique (c’est-à-dire expressément qualitative) des “objets ou événements”. Soient les objets identifiés par a, b, c ; {a, b, c} n’est pas une échelle nominale pour identifier ces objets parce que ni a ni b ni c ne sont des nombres. De même l’ordre alphabétique, l’ordre “échec < réussite”, ne peuvent mesurer ordinalement des objets. Contradictoire dès qu’on rejette cette restriction parce que la définition énonce qu’il s’agit d’attribuer des nombres à des “objets ou événements” — peu importe que ces nombres soient des numéros, des ordinaux ou des nombres réels par exemple. Cette contradiction sur la forme signale une confusion sur le fond : avec la définition de Stevens, le complément d’objet direct du verbe mesurer n’est plus une quantité de grandeur mais la catégorie vague d’aspect d’un objet ou d’un événement². Par exemple, d’après Stevens, il faudrait dire qu’on mesure la réponse à un item de questionnaire, ce qui n’a rien à voir avec l’hypothèse que la réponse à cet item mesure une quantité psychologique (comme par exemple une quantité de capacité intellectuelle). Il est inutile et ambigu d’utiliser des nombres pour faire des descriptions (et non pas des mesures) nominales ou ordinales : si on utilisait des notations claires (cf. 42a), on serait de fait dans l’impossibilité de calculer des scores psychotechniques, une bonne chose pour la lucidité scientifique des utilisateurs de scores (sur le scorage, voir 11a).

Remarque 2. Du point de vue épistémologique, cette définition pose la question de savoir si la mesurabilité d’une grandeur via une technique descriptive donnée est un problème de convention (les règles d’attribution de nombres seraient une affaire de consensus, comme la notation scolaire) ou bien un problème empirique (existe-t-il des faits d’observation qui frapperaient d’incohérence l’affirmation qu’on sache mesurer telle grandeur à l’aide de telle ou telle technique de description des “objets ou événements” ?). Négliger cette différence revient à confondre l’évaluation et le mesurage et à oublier que tout n’est pas mesurable.

Remarque 3. Dans la mesure où les critères de jugement pour conférer aux nombres utilisés le statut de mesures d’intervalle ou de ratio ne sont pas envisagés (seules les conséquences de ces choix en termes de transformation fonctionnelle sont envisagés), ce qui constitue à proprement parler le problème du mesurage quantitatif (par opposition au mesurage ordinal d’une quantité), on est libre de penser que Stevens ne s’opposait pas à ce qu’on convienne de ce que des nombres soient des mesures d’intervalle. La conséquence d’un tel conventionnalisme est qu’il détruit la différence épistémologique entre une mesure (possible seulement si on admet l’existence d’une grandeur à mesurer d’une part, et d’une fonction de mesurage qui formalise un principe causal de mesurage d’autre part) et une évaluation (possible dès qu’on se donne une règle de scorage pour fabriquer des descriptions numériques).

Remarque 4. Stevens corrobore ce conventionnalisme scientifiquement parce qu’expérimentalement ou empiriquement abusif, lorsqu’il écrit “L’intelligence, par exemple, est utilement évaluée (“assessed” et non pas “measured”) sur des échelles ordinales qui tentent d’approcher des échelles d’intervalle et il n’est pas nécessaire de définir ce que zéro intelligence signifierait” (p. 679). S’il avait appliqué sa propre approche aux scores d’intelligence, Stevens aurait dû reconnaître qu’une échelle de scores d’intelligence n’est pas une échelle nominale des aspects des objets/réponses sur lesquels elle se fonde, puisque ces aspects sont décrits dans un ensemble de m-uplets (cf. 20a), que les scores ne permettent pas d’identifier de manière isomporphe (un même score “mesure”, au sens de Stevens ou, plus proprement, décrit, différentes façons de répondre à un test d’intelligence). Donc une échelle de scores d’intelligence n’est pas une échelle ordinale parce qu’une échelle ordinale est (condition nécessaire) aussi une échelle nominale.

Les enjeux utilitaires (anthropocentrés) effacent le problème théorético-empirique de mesurage (parce que si l’intelligence était mesurable, ce serait une grandeur mesurable donc une grandeur et alors, la question de la plus petite quantité d’intelligence possible serait une question théoriquement non-négligeable) au profit d’un feu vert pour une convention à usage évaluatif qui permet, grâce à cet “élargissement” du sens du verbe “mesurer”, d’emprunter le discours de la mesure, et donc de profiter de sa crédibilité scientifique, quitte à obscurcir ou tout au moins brouiller la notion de mesurage (measurement).

Références

Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of measurement. Science, 103, 677-680.
Tafreshi, D., Slaney, K. L., & Neufeld, S. D. (2016). Quantification in psychology: Analysis of an unreflective practice. Journal of Theoretical and Philosophical Psychology, 36, 233-249.

Un isomorphisme implique l’existence d’une relation de correspondance terme à terme, puisque les deux ensembles ont la même “forme”). Conséquence : peut-on, dans cette approche, mesurer une quantité de grandeur comme par exemple une quantité de distance ? Réponse : non parce qu’une quantité de grandeur (de distance) n’a pas d’aspect relevant du “faire” expérimental, au sens positiviste et empiriste du terme “expérimental”, entre les quantités à mesurer et les nombres supposés les mesurer — la distance est une “pure idée” dont on peut croire ou pas qu’elle corresponde à quelque chose de réel. [↩]
Je remercie Corentin Gonthier qui m’a suggéré ces précisions. [↩]

38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique

8 réponses

Pour raisonner logiquement, respectons les règles de la logique. Cet article présente les règles logiques de la négation, de la conjonction (et), de la disjonction (ou) et de l’implication avec des diagrammes et des tables de vérité.

Une proposition quelconque sera notée par une lettre majuscule. Soit A une proposition. Il faut distinguer deux intentions lorsqu’on énonce une proposition : l’intention assertive et l’intention référentielle, qui introduit le point de vue “méta”, en surplomb, nécessaire à l’attitude critique.

Lorsqu’on dit “A”, on se positionne : on sous-entend que A est vraie.

Lorsqu’on dit “A est une proposition”, on se réfère à A sans se positionner sur la vérité de A.

Lorsqu’on dit “A est une proposition vraie (ou fausse)”, on se réfère à A explicitement et on se positionne sur la vérité de A. Comme la référence à A s’accompagne d’un jugement (ou évaluation) de vérité, on dira que l’intention est assertive, pour réserver l’étiquette “intention référentielle” aux seuls cas où l’intention de la proposition est de référer à une proposition sans préjuger de sa vérité.

On exclut aussi l’intention qui consiste à faire semblant de dire vrai (d’où la possibilité que l’application du logicien à formuler les problèmes de manière logique le fasse passer pour un naïf et la difficulté de faire de la politique de manière logique).

Remarque. Soit A la proposition “la vérité n’existe pas”. A est fausse parce que c’est une assertion, c’est-à-dire un jugement de vérité (il est vrai que la vérité n’existe pas). Or pas de jugement de vérité sans vérité. Donc la vérité existe puisque le jugement de vérité existe, même s’il est erroné.

1. La négation (non-A, notée ¬A)

Soit A : quelque chose est un a. ¬A se lit : quelque chose n’est pas un a. Remplaçons quelque chose par x (cf. la figure ci-dessus ; tout ce qui est un a est mis dans l’ensemble a) : A est vraie et ¬A est fausse parce que x est un a. Remplaçons quelque chose par y, A est fausse et ¬A est vraie parce que y n’est pas un a.

Les valeurs de vérité de ¬A en fonction des valeurs de vérité de A sont représentées dans la table de vérité ci-dessous.

La ligne 1 se lit : si A est fausse (si on rejette A) alors ¬A est vraie (on accepte ¬A). La ligne 2 se lit : si A est vraie alors ¬A est fausse.

Exercice 1 : Montrer que ¬(¬A) = A — que la colonne A est identique à la colonne ¬(¬A).

2. La conjonction (A et B, notée A ∧ B)

Soit B : quelque chose est un b. A ∧ B est vraie pour x, fausse pour w, y et z.

La table de vérité ci-dessus représente la même information : si A est fausse et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est fausse et B vraie alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et si B vraie alors A ∧ B est vraie.

Exercice 2 : montrer que A ∧ (¬A) est fausse. (réponse : si A est vraie, ¬A est fausse ce qui correspond au cas w ; si A est fausse, ¬A est vraie ce qui correspond au cas y.)

3. La disjonction (A ou B, notée A ∨ B)

A ∨ B est fausse pour z, vraie pour w, x et y.

Si A et B sont fausses alors A ∨ B est fausse, etc.

4. L’implication (A => B)

A => B est fausse pour w, vraie pour x, y et z.

Si A et B sont fausses alors A => B est vraie (ce qui n’est pas intuitif), etc.

Exercice 3 (contraposée) : montrer que (A => B) = (¬B => ¬A) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬B => ¬A). (réponse : on déduit les valeurs de ¬B et de ¬A ligne par ligne en fonction des valeurs de A et de B ; ensuite on applique la définition de (A => B) à (¬B => ¬A) ligne par ligne ; enfin on constate que les colonnes sont identiques ; voir aussi Notturno, 2000))

Vocabulaire : A est une condition suffisante de B ; B est une condition nécessaire de A.

Exercice 4 : montrer que (A => B) = (¬A ∨ B) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬A ∨ B).

Exercice 5 (à partir de la tâche de sélection de Wason, 1968) : si une carte porte une voyelle d’un côté, alors elle porte un nombre impair de l’autre côté. On présente les quatre cartes E C 5 4. Quelles cartes faut-il retourner pour tester la règle ? (réponse : le falsificateur de la règle est une carte “voyelle et pair” ; il faut donc retourner les cartes E et 4.)

Voir aussi les règles de la responsabilité intellectuelle.

Référence

Wason, P. C. (1968). Reasoning about a rule. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 20, 273-281.

36a. Comment lire une échelle analogique de douleur ?

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Cet article approfondit l’analyse du concept de fonction de mesurage continue, introduite dans l’article 5a, qui utilise l’exemple d’une échelle analogique de douleur. Il s’agit de préciser l’incertitude théorique qui s’attache à l’interprétation des mesures lues sur l’échelle de mesure et d’en tirer les conséquences du point de vue psychologique.

1. Comparaison inter-individuelle

Considérons tout d’abord le graphique ci-dessous qui représente la fonction de mesurage de Paul et la fonction de mesurage de Julie (pour zoomer sur l’image, cliquer dessus ; on se place dans la situation où ces fonctions seraient connues). Tous deux, lors d’une mesure, indiquent sur l’échelle une valeur d’environ 7 cm. Qui des deux a le plus de douleur ?

Sauf quand leur douleur est nulle ou maximale, lorsque Paul et Julie indiquent l’intensité de leur douleur par une même distance sur l’échelle analogique, la douleur de Julie est plus grande que la douleur de Paul (ce qui, en termes courants, signifie que Julie est plus résistante à la douleur que Paul). Ainsi, si on admet que les fonctions de mesurage sont propres aux personnes et que ces fonctions ne sont pas identifiées, on ne peut pas utiliser les distances mesurées pour comparer les quantités de douleur chez les différentes personnes : chacun est son propre instrument de mesure et on ignore comment passer d’un instrument à un autre.

2. Comparaison intra-individuelle

Concentrons-nous à présent sur le mesurage de la douleur de Paul par sa fonction représentée ci-dessous et envisageons quatre états de sa douleur, q₁ < q₂ < q₃ < q₄, tels que q₂ – q₁ = q₄ – q₃ (les écarts sont les mêmes). Que disent les mesures ? On a bien F(q₁) < F(q₂) < F(q₃) < F(q₄), mais a-t-on

F(q₂) – F(q₁) = F(q₄) – F(q₃) ?

Non : F(q₂) – F(q₁) > F(q₄) – F(q₃). En d’autres termes, la fonction de mesurage ne conserve pas l’unité de changement de la douleur, ou encore, la mesure n’est pas métrique mais seulement ordinale. Calculer une différence entre plusieurs mesures pour quantifier le changement de la douleur, c’est-à-dire connaître la quantité de changement de douleur, est une chose vaine (cf. Bachelard, 1938/1983). Les hauteurs lues sur l’échelle de douleur indiquent seulement le sens (positif ou négatif) du changement de la douleur.

D’où la question suivante : que faut-il pour que la différence entre deux mesures ait une signification quantitative, c’est-à-dire qu’on puisse référer à une unité de douleur ? En d’autres termes, que faut-il pour que le taux d’accroissement dy/dq soit une constante positive ? Il faut et il suffit que la fonction de mesurage soit une fonction affine, c’est-à-dire du type F(q) = aq + b, avec a > 0. En effet, quels que soient q₁ et q₂ distincts,

[F(q₂) – F(q₁)]/(q₂ – q₁) = a <=> F(q₂) – F(q₁) = aq₂ – aq₁ <=> pour tout q F(q) = aq + b.

Les mesures obtenues par une fonction de mesurage affine conservent les intervalles de quantités de la grandeur mesurée, c’est pourquoi on les appelle des mesures d’intervalle (cf. 40a).

Enfin, les mesures sont-elles additives ? Autrement dit, quels que soient q₁et q₂, a-t-on

F(q₁) + F(q₂) = F(q₁ + q₂) ?

Si F est linéaire, ie., F(q) = aq, ce qui correspond à ce qu’on appelle une échelle de ratio, F est additive : pour tous q₁ et q₂, F(q₁ + q₂) = a(q₁ + q₂) = aq₁ + aq₂ = F(q₁) + F(q₂).

Par exemple, les mesures de température effectuées à l’aide d’un thermomètre en degrés Celsius ne sont pas additives parce que b, dans l’équation de la fonction affine de mesurage, n’est pas nul (quand on lit 0°, la température n’est pas nulle).

Si F est additive et continue, elle est linéaire (preuve que m’a expliquée Julien Labetaa).

3. Conséquences

Si, lorsqu’on demande à quelqu’un d’indiquer l’intensité de sa douleur en utilisant une échelle de douleur, on veut interpréter ses réponses comme des mesures, il faut admettre que toute réponse dépend de la quantité de douleur instantanée via une fonction de mesurage, dont on ignore la nature. Si on veut considérer que la mesure effectuée est quantitative, il faut admettre que cette fonction est affine (échelle d’intervalle) ou linéaire (échelle de ratio). Toutes ces suppositions sont invraisemblables si on admet que la personne répond non pas machinalement mais selon ce qu’elle veut, quand bien même sa volonté nous demeure inaccessible.

Au lieu de fonder son interprétation de la réponse sur des arguments psychométriques ou métrologiques dont la plausibilité est douteuse, le psychologue peut plutôt considérer cette réponse comme un acte de langage, qui implique l’intentionnalité des interlocuteurs plongés dans un champ de significations possibles. Si, par exemple, la personne énonce “7 cm” hier et “6 cm” aujourd’hui, il est possible qu’elle dise “j’ai un peu moins mal aujourd’hui qu’hier” dans le langage du clinicien qui la fait s’exprimer par déplacements du curseur de l’échelle. La sagesse philosophique de Bachelard (1938/1983) peut être utile au psychologue :

Mesurer exactement un objet fuyant ou indéterminé, mesurer exactement un objet fixe et bien déterminé avec un instrument grossier, voilà deux types d’occupations vaines que rejette de prime abord la discipline scientifique. (p. 213)

Référence

Bachelard, G. (1983). La formation de l’esprit scientifique. Paris : Vrin. (Première édition en 1938)

35a. Observations objectives vs. subjectives

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A telle heure, Paul répond “non” à l’item “Je me sens fatigué(e)” ; beaucoup de gens, considérant qu’il s’agit d’une observation subjective, concluent que la vérité scientifique n’est pas à l’ordre du jour en psychologie, puisqu’il n’est question que de subjectivité (ou d’humain). C’est aller trop vite en besogne et le contre-sens méthodologique n’est pas loin. Dans ce billet, il s’agit de soutenir que l’énoncé d’observation

à telle heure, Paul a répondu “non” à cet item

est une observation objective¹.

Certes, l’opacité de ce “non” doit être reconnue. Il faut supposer que pour répondre à l’item, Paul s’auto-considère, se regarde lui-même, se prend lui-même pour objet. Le vécu (pensées, émotions, sentiment de soi) de Paul ne peut être vécu par autrui. En prêtant attention à Paul, une tierce personne produit, du moins nous le supposons, des pensées, des émotions, un sentiment d’elle-même, qui incluent des cogitations sur ce que Paul peut ressentir. Je ne vois pas ce qui permet de comparer le vécu de Paul et le vécu que nous éprouvons quand nous nous intéressons au vécu de Paul, puisque précisément, on ne sait objectiver ces vécus, c’est-à-dire les abstraire des personnes qui en sont le siège, que par des mots (ou par d’autres formes de production comme le dessin, la musique, etc., mais alors ce n’est plus du langage à proprement parler)².

Pour essayer d’établir ce à quoi “non” réfère chez Paul, faudrait-il recourir à l’introspection comme technique d’observation (e.g., Petitmengin & Bitbol, 2009 ; Silvia & Gendolla, 2001) ? Quoiqu’il en soit, on comprend la tentation de signaler l’indétermination référentielle du “non” de Paul par la locution “observation subjective” : on ne peut pas se substituer à Paul qui est l’unique observateur de son vécu.

Dans toutes les discussions concernant le problème du mesurage d’une grandeur psychologique, l’observateur est le psychologue. Et ce que le psychologue observe, c’est une réponse à un item de test — rien d’autre, il ne faut pas se laisser distraire, ici, par l’objection qui consiste à dire que pas du tout, le psychologue observe bien d’autres choses lorsqu’il fait passer le test ; il perçoit bien sûr bien d’autres choses, mais il ne les observe pas, au sens où une observation objective implique l’utilisation d’un langage descriptif donné (un référentiel de description).

Ce qui nous conduit à préciser en quoi une observation peut être objective (voir aussi 8a, 24a). Appelons P cette observation. P est objective pour un ensemble d’observateurs potentiels si quel que soit un observateur potentiel de cet ensemble, P est vraie pour lui dès qu’il observe (i) Paul en train de répondre ou bien (ii) la réponse de Paul — jugement de vérité qui est un jugement subjectif. Vous prenez n’importe qui, vous lui montrez la feuille de réponse de Paul et vous vérifiez qu’il affirme bien que la réponse à cet item est “non” (laquelle vérification est, inévitablement, subjective). L’objectivité, ici, n’est rien d’autre que l’espoir de l’interchangeabilité des sujets lorsqu’ils forment un jugement de vérité concernant un énoncé d’observation qui décrit un phénomène (qui se passe, mais qu’on ne saisit, pour l’activité scientifique, que par des propositions, des phrases, des énoncés). Pour éviter de confondre cette objectivité-là avec une idée absolue ou encore totalisante de l’objectivité, je parle d’objectivité au sens faible.

Autrement dit, l’objet de la connaissance objective est ici non pas ce que Paul a ressenti, mais ce qu’il a répondu. Si on se sert de sa réponse pour mesurer par exemple sa quantité de fatigue, cette quantité de fatigue est une fiction, un point de [0, max] (qu’on peut projeter dans ou sur le réel, mais cela n’est pas nécessaire, on peut très bien considérer qu’une théorie scientifique puisse ne pas correspondre totalement au réel³). Si on imagine qu’on mesure une quantité, se pose la question de la mesurabilité de la fatigue définie comme quantité, c’est-à-dire des conditions qui permettent de croire que la variation des réponses observées dépende de la variation de la quantité de fatigue (cf. 3a). L’important est que si on prétend mesurer la fatigue avec des réponses à un ou des items de fatigue, on soit lucide sur le fait que le vécu “fatigue” n’est logiquement pas pertinent parce que le vécu n’est pas une grandeur. Et si on s’intéresse au vécu ou encore au ressenti plutôt qu’à une quantité de grandeur, alors il faut se poser la question des conditions de possibilité d’une connaissance objective de ce ressenti — vaste programme, qui ne relève pas, stricto sensu, du mesurage.

Références

Petitmengin, C., & Bitbol, M. (2009). The validity of first-person descriptions as authenticity and coherence. Journal of Consciousness Studies, 16, 363-404.

Silvia, P. J., & Gendolla, G. H. E. (2001). On the introspection and self-perception: Does self-focused attention enable accurate self-knowledge? Review of General Psychology, 5, 241-269.

Au sens faible du terme, i.e., la vérité de cette observation n’est pas la Vérité absolue. [↩]
Partager l’idée d’un sentiment douloureux de solitude avec autrui ne change rien au fait que l’autre n’éprouve pas ce que nous éprouvons parce qu’il n’est pas nous. [↩]
Parce que nous faisons partie du réel et que nous ne pouvons pas être tout à la fois objet et sujet de l’appréhension de nous-mêmes — la partie qui appréhende n’étant pas simultanément appréhendée, ce qui entraîne qu’une partie du réel nous échappe nécessairement. [↩]

34a. Rédiger en psychologie

2 réponses

Dans ce billet, je consigne des citations de copies. Les étudiants ont besoin d’être formés à l’expression écrite et nous, enseignants de psychologie, devons en tirer les conséquences. Il faut les faire écrire, les lire, les critiquer, les corriger, les faire écrire, les critiquer, etc., jusqu’à ce qu’il ne reste plus rien à corriger. L’expression d’une réflexion personnelle argumentée, documentée, responsable, est une partie constituante de notre capacité à perpétuer la démocratie et à contribuer à son développement — le reste, le kaléidoscope des doctrines psychologiques, est secondaire.

En réponse à la question “Un test psychologique est-il un instrument de mesure ? Justifiez” (2015, L2) :

Oui, un test psychologique est un instrument de mesure parce qu’il peut mesurer différentes choses telles que l’intelligence avec le QI. [Justifier, c’est définir ce qu’est un instrument de mesure et montrer qu’un test psychologique satisfait ou pas la définition.]
Oui, il peut mesurer par exemple le développement cognitif d’un enfant. Piaget en 1942 crée les tests de concervations pour cet effet. [Le développement cognitif n’est pas une grandeur mais un processus.]
Un test psychologique est un instrument de mesure car une fois codé, les réponses pourrons être calculés. [Mesurer et calculer sont des synonymes (je passe sur la grammaire) ?]
Non un test psychologique n’est pas un instrument de mesure car ce sont des personnes qui répondent au test donc ça serait eux, leurs réponses au test qui est notre “instrument de mesure”. [Ici, il faut avoir une mentalité d’accoucheur : oui vous pouvez le dire, mais il y a du travail.]
Oui, car un test nous permet d’avoir des données quantitatives ou qualitatives que l’on peut mesurer grâce à des lois de mesures ou des échelles de mesures. Mesurer les résultats par la suite nous permet de discuter et comprendre les phénomènes psychologiques. [Défi : qui peut démêler cette pelote de mots ?]
Non ce n’est pas un instrument de mesure car on ne peut pas le quantifier. [Certes, on ne peut pas quantifier un test psychologique. Quel est le complément d’objet direct du verbe quantifier ?]
Oui c’est un instrument de mesure, il mesure des scores, c’est à dire une variable quantitative ; et non qualitative. [Quel est le complément d’objet direct du verbe mesurer ?]
Le test psychologique est aussi appelé “instrument de test”. C’est donc un instrument de mesure. [La déduction est-elle valide ?]

En réponse à la question “Quelle est la définition du mesurage qui sous-tend qu’un score de QI mesure l’intelligence ?” (2015, L2) :

Le mesurage permet d’avoir des résultat sur le score et peut etre situer dans une echelle. [Ici, il faut avoir une mentalité d’accoucheur : oui vous pouvez le dire, mais il y a du travail.]

En réponse à un sujet d’épistémologie (2015, M2R) :

En sciences humaines, il est difficile de ne pas faire intervenir la subjectivité. Pour se rapprocher au plus près de “l’objet”, nous avons des solutions comme le travail conjoint. [Il faudrait au moins donner un exemple. Nébuleux.]
La recherche en science humaine, notamment en psychologie consiste à expliquer des enchainements entre des phénomènes. [Je vous parie que vous ne pouvez pas trouver un seul exemple d’article de science humaine (sic) qui explique comment deux phénomènes s’enchaînent.]
Ces buts [de recherche] ont permis que ce projet de recherche soit accepté par le directeur du mémoire. Son rôle est de s’assurer que la recherche est utile. De plus, le directeur de Recherche donne également les directives pour conduire cette recherche de façon conforme à son laboratoire. [Un exemple de soumission à l’autorité institutionnelle : ne pas objecter à une telle démonstration de soumission, c’est approuver.]
… les théories qu’invoquent le chercheur pour rendre compte de fait ne peut être objectif. [Quand les problèmes grammaticaux attaquent le sens d’une phrase. Peut-on négliger ce type de problèmes de maniement de l’écrit lorsqu’il s’agit de délivrer des diplômes universitaires de niveau bac+5 ?]
Il est nécessaire pour avoir une part d’objectivité, d’admettre qu’il est difficile de l’être totalement lorsque l’homme (avec toute sa complexité) étudie l’homme. [Ce qu’on appelle du blabla : ne pas refuser le blabla, c’est l’accepter comme norme du discours.]
[cette théorie] permet d’obtenir deux type de resultats : soit quel processus le sujet à utilisé pour la décision, soit quels facteurs sont les plus plébicités. [Ce qu’on appelle du blabla : ne pas refuser le blabla, c’est l’accepter comme norme du discours.]

33a. Dessine-moi une fonction

10 réponses

Des étudiants ont proposé les graphiques suivants en réponse à la question d’examen : Tracez une fonction de mesurage possible pour les réponses à un item de névrosisme avec un format de réponse en 7 niveaux. Lequel est correct ? Cherchez les erreurs. Pour grossir l’affichage de chaque graphique, cliquez dessus.

Graphique 1
1.1. Quel est l’ensemble des réponses observables ?
1.2. Quand la quantité de névrosisme est égale à A₁, quelle est la réponse observée ?
1.3. Quand la quantité de névrosisme est égale à max, quelle est la réponse observée ?
1.4. Quel est l’ensemble des seuils de la fonction ?

Graphique 2
2.1. La fonction est-elle monotone ?
2.2. Dans quel ensemble prend-elle ses valeurs (ensemble d’arrivée) ?
2.3. Dans quel ensemble est-elle définie (ensemble de départ) ?

Graphique 33.1. Quelle est la réponse lorsque la quantité de névrosisme est supérieure à C ?

Graphique 4

4.1. Que signifient les valeurs sur l’axe des ordonnées ?
4.2. Quelle est la réponse lorsque la quantité de névrosisme se trouve entre la première et la deuxième graduation de l’axe des abscisses ?

Graphique 5

5.1. Quelle est la réponse lorsque la quantité de névrosisme est dans [0, A1[ ?
5.2. Combien de réponses sont possibles ?

Graphique 6

6.1. Quelle est la réponse lorsque la quantité de névrosisme vaut B ?
6.2. Paul a répondu 3 il y a trois mois et 3 aujourd’hui : cela implique-t-il que sa quantité de névrosisme est la même aujourd’hui qu’il y a trois mois ?
6.3. Marie a répondu 3 il y a trois mois et 4 aujourd’hui : cela implique-t-il que sa quantité de névrosisme aujourd’hui est plus grande que sa quantité de névrosisme il y a trois mois ?

7a. Instrument de mesure et fonction de mesurage

12 réponses

1. Mais quand même…

“Une échelle ou un test psychotechniques ne sont pas des instruments de mesure”, “le médecin qui utilise une échelle hétéro-évaluative ou la personne qui utilise par exemple une échelle analogique de douleur sont des instruments de mesure” (voir 6a) : cela mérite une discussion.

On dit que le mètre représenté ci-dessous (source) est un instrument de mesure et cela ne pose pas de problème. Si on dit qu’une personne est un instrument, on lui enlève sa dignité, sa responsabilité, ou encore son libre arbitre. Dire qu’elle est un instrument de mesure paraît donc problématique puisqu’un instrument de mesure est un instrument.

2. Mesurer, c’est exploiter un principe de mesurage : application au mesurage de longueurs

Pour comprendre ce qu’est mesurer une grandeur, il faut savoir comment, dans les situations psychotechniques comme dans d’autres situations où il s’agit de mesurer, on mobilise un principe de mesurage — selon lequel les observations effectuées sur un objet possédant cette grandeur permettent de déduire quelque chose à propos de cette grandeur.

L’utilisateur d’un mètre pliant (ou d’un double décimètre) procède au mesurage de la longueur d’un objet en positionnant le zéro de son mètre pliant au “début” de l’objet et en déterminant la graduation qui correspond à la “fin” de l’objet, de sorte que le segment [“début”, “fin”] est ainsi rendu équivalent à un segment du mètre-ruban qui est lui-même décrit par un nombre de graduations ou par un intervalle de graduations. Il s’agit d’une opération descriptive. La description réalisée est conçue comme le résultat d’un mesurage de la longueur de l’objet parce qu’on admet qu’il existe une fonction de mesurage (affine) qui relie la grandeur “longueur”, pur concept d’un segment [0, max], aux descriptions que ce procédé de description rend possibles.

Cette fonction peut-être appréhendée expérimentalement : par exemple, si je diminue la longueur de l’objet en en coupant un morceau (ce qui permet d’affirmer que la longueur diminue, l₁ < l₂), la description diminuera aussi (F(l₁) < F(l₂)). C’est le va-et-vient entre ce qu’on sait faire sur la longueur et les descriptions correspondantes qui fonde le mesurage de la longueur : la longueur détermine la description selon une fonction de mesurage (F).

3. Mesure approchée vs. discrète

Mais il faut examiner les choses de plus près. La longueur qu’on attribue à l’objet ne détermine pas exactement la description qu’on fait de cette longueur, puisque cette longueur est par hypothèse un nombre réel positif et que la description, bien qu’elle s’exprime par un nombre, est en fait un intervalle, c’est-à-dire la donnée d’une borne inférieure et d’une borne supérieure qui encadrent ce nombre. Le nombre donné par la description est une commodité de langage. Si je dis que ce morceau de spaghetti mesure 9,7 cm, je ne prétends pas que sa longueur soit 9,7 fois plus grande qu’une longueur mesurant un cm. Je dis que l’image de la longueur par la fonction de mesurage est un nombre qui se trouve dans l’intervalle [9,5 cm ; 10 cm], si je suis prêt à assumer ce niveau de précision (ou d’approximation) pour mes descriptions (ou mes “lectures”). Assumer ce niveau d’approximation signifie prétendre qu’on peut me faire confiance, la mesure de la longueur ne se trouve pas hors de cet intervalle (voir Bachelard, 1938/1983 ; Popper, 2013).

Un mètre pliant (ou un double décimètre) est un instrument de mesure en ce sens que son langage descriptif est l’ensemble d’arrivée d’une fonction de mesurage qui ne pose pas de problème (tout au moins à ma connaissance) : cette fonction est de type y = F(l) = al, où a est un nombre réel strictement positif, l une quantité de longueur, et y l’image de l par la fonction dans le segment [0 cm, 20 cm]. Je peux déduire des observations “9,7 cm tout à l’heure et 5,7 cm maintenant que je l’ai raccourci ” que la longueur a diminué parce que le niveau d’approximation des observations le permet : tout à l’heure, la longueur mesurée, F(l₁), était plus grande que 9 cm, maintenant la longueur mesurée, F(l₂), est plus petite que 6 cm, et comme 6 < 9, la longueur a diminué (F(l₂) < 6 cm < 9 cm < F(l₁) donc F(l₂) < F(l₁) donc l₂ < l₁).

Les items psychotechniques discrets ne posent pas de problème d’approximation descriptive puisque les réponses possibles à l’item se trouvent dans une liste finie (si l’utilisateur ne savait pas choisir entre plusieurs réponses voisines, alors on aurait non pas un problème de mesurage mais un problème de description). Il n’est donc pas question d’approximation comme dans le cas d’un format continu.

4. Remarque sur la théorie classique des tests

La doctrine de la validation des tests est pour ainsi dire muette sur le principe de mesurage, i.e., sur la fonction qui relie la grandeur qu’on veut mesurer aux réponses possibles, et cela est possible parce qu’elle n’exige pas la validité des inférences qu’on fait à partir des observations (condition nécessaire de la scientificité, voir par exemple l’article sur la théorie classique des tests).

5. Où sied le principe de mesurage ?

Quand je dis qu’en psychotechnique l’instrument de mesure est la personne, c’est une façon d’utiliser le langage à contre-courant pour attirer l’attention sur le fait que le principe de mesurage ne se trouve pas dans le langage descriptif — en tant que tel, un test propose un langage descriptif. L’idée de principe de mesurage comprend le langage descriptif et le concept de la grandeur à mesurer. On peut maintenant interpréter ce que veut dire Falissard (2008) par “saut qualitatif” (p. 8) : l’amélioration liée à “l’ébauche d’un système d’étalonnage” (p. 8) ne porte pas sur le mesurage, mais sur le langage descriptif utilisé comme ensemble d’arrivée d’une fonction de mesurage dont il ne parle pas.

Référence

Falissard, B. (2008). Mesurer la subjectivité en santé : perspective méthodologique et statistique. Paris: Masson.

6a. La notion de mesure étalon selon Falissard : un saut qualitatif indéniable ?

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Dans son ouvrage “Mesurer la subjectivité en santé : perspective méthodologique et statistique” (2008), Bruno Falissard présente deux exemples de formats de réponse discrets (dans son chapitre 2). L’échelle Clinical Global Impression – Severity illustre ce qu’il appelle la mesure “impression”, tandis qu’il apparente la Standford Sleepiness Scale à la mesure “étalon”. Cet article applique la définition du mesurage à ces deux exemples et conclut (1) que la mesure “impression” et la mesure “étalon” sont des conventions de mesurage ordinal univarié d’une grandeur théorique et (2) que la différence entre les deux échelles tient au mode hétéro- vs. auto-évalué de leur utilisation : dans le premier cas, l’instrument de mesure est le médecin, qui évalue la gravité de la maladie de son patient, tandis que dans le second cas, l’instrument de mesure coïncide avec l’objet qui possède la grandeur : la personne évalue son propre état de somnolence/vigilance.

1. Les fonctions de mesurage sont des fonctions par palier

1.1. L’échelle Clinical Global Impression – Severity

Pour décrire la gravité de la maladie de son patient avec cette échelle, le médecin doit choisir une des huit réponses suivantes : non évalué (0), normal, pas du tout malade (1), à la limite (2), légèrement malade (3), modérément malade (4), manifestement malade (5), gravement malade (6), parmi les patients les plus malades (7).

Remarque. Si cette échelle mesure la gravité de la maladie, la réponse 0 (non évalué) est un intrus logique, puisqu’elle indique l’absence d’évaluation (et donc de mesurage). En fait, l’échelle comprend sept réponses ordonnées : (1, 2, …, 7).

Comment concevoir que la réponse du médecin dépende de la gravité de la maladie du patient, de telle manière qu’on puisse déduire une variation théorique d’une variation observée ? Rappelons (voir Remarque 1) que si on admet que le jugement du médecin dépend de facteurs autres que la gravité de la maladie sans qu’on sache limiter l’effet de ses facteurs sur les réponses du médecin, aucune déduction n’est possible, puisque toute variation observée peut être causée par autre chose que par une variation théorique de la grandeur. Ce point me semble capital : si vous utilisez une balance pour vérifier que votre enfant a pris du poids et si vous admettez que les indications de la balance dépendent dans une limite inconnue d’autre chose que du poids de votre enfant, vous changez de balance.

Sous l’hypothèse que les réponses du médecin ne dépendent que de la gravité de la maladie du patient, comment représenter cette relation de causalité ? Par une fonction par palier, selon le raisonnement développé dans Mesurer avec les réponses à un item (voir aussi, pour s’exercer, 33a). Chaque réponse désigne non pas une quantité de gravité, mais un intervalle de quantités possibles. C’est pourquoi la proposition

6 – 5 = 4 – 3

n’a pas de signification théorique du point de vue de la notion de gravité de la maladie, parce que les intervalles correspondant aux valeurs numériques de l’échelle ne peuvent pas être soustraits les uns aux autres. Le mesurage que le médecin opère avec cette échelle est un mesurage ordinal : l’échelle fournit un langage de type “plus ou moins que”.

1.2. La Standford Sleepiness Scale

Pour décrire son état de somnolence/vigilance, la personne doit choisir une réponse dans la liste suivante :

Energique, tout à fait réveillé (1),
Etat d’éveil très bon, mais pas le meilleur. Capable de me concentrer (2),
Décontracté, éveillé, conscient de l’environnement (3),
Légère sédation, pas au maximum de ma forme, je laisse aller (4),
Sédation moyenne. Je commence à perdre l’envie de rester éveillé, je suis ralenti (5),
Je me sens endormi. Je préfère être couché. Je combats l’endormissement. Vaseux (6),
Je dors presque. J’ai perdu l’envie de rester éveillé (7).

Les réponses à cette échelle mesurent la quantité de somnolence, définie dans [0, max], si celle-ci détermine les réponses selon une fonction telle que si la somnolence augmente d’une quantité q₁ à une quantité q₂, la réponse correspondant à q₁ soit supérieure ou égale à la réponse correspondant à q₂. On est conduit à invoquer une fonction en sept paliers (voir aussi 33a).

Le mesurage de la somnolence est ordinal. Par conséquent, bien qu’on puisse considérer les réponses comme “la référence d’un certain niveau de somnolence” (Falissard, 2008, p. 9) et ne pas considérer les réponses de l’échelle Clinical Global Impression – Severity comme la référence d’un certain niveau de gravité de la maladie, je ne vois pas en quoi cette distinction “constitue un saut qualitatif indéniable dans la conceptualisation de la notion de mesure” (p. 8) : les deux approches sont des conventions descriptives ordinales d’une grandeur dont le statut théorique est, comme Falissard le reconnaît bien volontiers par ailleurs, rudimentaire. L’article Instrument de mesure et fonction de mesurage précise comment comprendre son idée de saut qualitatif.

Conformément à l’usage en psychologie, l’auteur appelle ces deux échelles des instruments de mesure. Je m’inscris en faux contre cet usage parce qu’il est incorrect du point de vue du mesurage. Si tant est qu’il y ait mesurage — et je crois qu’il n’y a pas mesurage — les instruments de mesure sont respectivement le médecin et la personne qui évalue son niveau de somnolence, ce qui entraîne certaines conséquences.

2. La confrontation des instruments de mesure n’est pas toujours possible

Supposons deux médecins décrivant indépendamment l’un de l’autre la gravité de la maladie d’un même patient avec l’échelle Clinical Global Impression – Severity. Si on observe que leurs réponses ne sont pas identiques, alors les deux instruments de mesure ne sont pas interchangeables. Si on postule qu’ils mesurent la même grandeur, on est obligé de déduire de l’observation que les fonctions de mesurage caractérisant les deux médecins sont différentes. Le problème de l’interchangeabilité des instruments de mesure peut se poser parce que les instruments de mesure ne coïncident pas avec l’objet dont on mesure la grandeur.

Dans le cas de la Standford Sleepiness Scale, le problème de l’interchangeabilité des instruments de mesure n’est pas possible parce que le mode d’emploi stipule que la personne somnolente/vigilante procède à la description de son état. Cette situation mérite d’être remarquée. Imaginons : un technicien souhaite vérifier la tension du courant électrique dans les nombreux appartements d’un immeuble. Comme il ne dispose pas de voltmètre personnel, il décide de se fier aux voltmètres de chaque appartement, mais le principe de fonctionnement de ces voltmètres est inhérent à la psychologie des habitants de chaque appartement ! Ressentez-vous comme moi une grande perplexité ?

Cette perplexité est difficile à éprouver si on croit que l’instrument de mesure est non pas la personne qui se sert de l’échelle de description, mais bien l’échelle de description elle-même. Cette croyance est renforcée, au sens behavioriste du terme, par la rhétorique de la doctrine de la validation des tests. Conformément à cette rhétorique, Falissard intitule son chapitre 3 “Construire un instrument de mesure subjective” — voir aussi Dany Laveault et Jacques Grégoire qui intitulent “La construction d’un instrument de mesure” le premier chapitre de leur “Introduction aux théories des tests en psychologie et en sciences de l’éducation” (2002). Le langage utilisé est celui de la construction d’un appareil de mesure, mais les mots sont trompeurs — on ne construit pas les personnes qui utilisent les échelles ou les tests psychotechniques.

Exercice non corrigé

Références

Falissard, B. (2008). Mesurer la subjectivité en santé : perspective méthodologique et statistique. Paris: Masson.
Laveault, D., & Grégoire, J. (2002). Introduction aux théories des tests en psychologie et en sciences de l’éducation (2e éd.). Paris: De Boeck Université.

5a. Mesurer avec les réponses à un item : fonctions de mesurage

2 réponses

Comment les réponses à un item de test psychologique (plus proprement, psychotechnique) pourraient-elles mesurer une quantité de grandeur ?

1. Format de réponse : discret vs. continu

Précisons tout d’abord la notion de format de réponse. La réponse à un item psychotechnique a deux formats possibles : soit la réponse varie dans un ensemble discret, soit elle varie dans un ensemble continu.

Par exemple, si on décrit la réponse à l’item

23 + 9 = ?

comme correcte ou incorrecte, le format est discret. Si on demande à un patient d’indiquer (ce qu’on appelle) l’intensité de sa douleur sur l’échelle (dite analogique) ci-dessous,

le format est continu : la réponse est décrite comme la distance qui sépare l’origine (0) du curseur de la réglette (source de l’image : SFETD).

2. Fonction de mesurage

Dans les deux cas, le problème est : comment la réponse dépend-elle de la quantité qu’on veut mesurer ? Appelons capacité de calcul mental la grandeur qui a inspiré l’item de calcul mental. Une réponse correcte à l’item de calcul mental indique une capacité plus grande que la capacité indiquée par une réponse incorrecte ; sur l’échelle analogique de douleur, plus le curseur se déplace vers la gauche (quand on regarde la “face de mesure”), plus la douleur augmente. La relation “plus une quantité augmente, plus autre chose, qui en dépend et qui se voit, augmente”, peut être formalisée par le concept mathématique de fonction.

Le format continu est peut-être plus intuitif pour saisir cette notion de fonction de mesurage. Qu’est-ce qui permet de dire que plus le curseur se déplace vers le 10, plus la douleur augmente ? C’est l’hypothèse que le positionnement du curseur par le patient dépend de la quantité de sa douleur : à tout point de [0, max], c’est-à-dire à toute quantité de douleur, correspond un et un seul point de [0 cm, 10 cm], c’est-à-dire du segment dans lequel varie le curseur.

On peut alors, par un petit effort de visualisation, considérer une courbe, représentative de la fonction de mesurage (voir 36a). La fonction est définie dans le segment [0, max] (ensemble de départ), où 0 correspond à “aucune douleur” et max correspond à la douleur maximale qui puisse exister ; elle prend ses valeurs dans le segment [0 cm, 10 cm] (ensemble d’arrivée). Cette fonction est croissante, c’est-à-dire que si on fait augmenter la douleur, on fait augmenter la distance du curseur. En langage mathématique,

q₁ > q₂ => F(q₁) > F(q₂),

où q₁, q₂ désignent des quantités de douleur et F désigne la fonction qui détermine les distances correspondantes.

On ne connaît pas cette fonction et on a l’embarras du choix. On peut imaginer une courbe rectiligne, concave, ou encore convexe comme le montre la figure ci-dessous.

On ignore si une quantité d’augmentation donnée a les mêmes répercussions empiriques (i.e., observables sur la position du curseur) selon que cette augmentation survient quand la douleur est petite, moyenne, ou grande. Ainsi par exemple, on ignore si la variation de douleur qui correspond à la variation du curseur quand il passe de 1 à 2 cm est la même que la variation de douleur qui correspond à la variation du curseur quand il passe de 8 à 9 cm. On ignore si le patient qui signale 4 cm a deux fois plus mal que lorsqu’il signale 2 cm.

Le centimètre est une unité de longueur ; on admet que la longueur mesurée mesure une quantité de douleur, d’une manière ordinale (c’est-à-dire qu’on parle le langage du “plus ou moins”). Tant qu’on n’a pas trouvé quelle est la fonction dont on suppose l’existence pour tel ou tel patient, on ne pourra pas mesurer sa douleur de manière métrique (i.e., en se fondant sur une unité de douleur).

Récapitulons : qu’une échelle de douleur mesure la douleur signifie qu’on admet que la distance du curseur dépend de manière croissante de la quantité de douleur. Cette dépendance (ou relation causale) est conceptualisée par une fonction dont on ignore la nature exacte. J’appelle cette fonction une fonction de mesurage (ou encore de liaison). Notre ignorance scientifique implique que la mesure de la douleur, si tant est qu’elle soit plausible, n’est pas métrique mais ordinale. Ce n’est pas parce que le format de réponse a une métrique que le mesurage de la quantité psychologique qui nous intéresse est un mesurage métrique. Pour approfondir ce point, voir 36a.

Exercice non corrigé (pour voir les réponses antérieures saisissez votre réponse)

Revenons à l’item de calcul mental : quelle fonction relie la capacité de calcul mental à l’ensemble {incorrecte, correcte} ? Cette fois-ci, l’ensemble d’arrivée est un ensemble discret (et fini). Nous partons de l’idée qu’une réponse correcte indique une capacité supérieure. La seule façon de spécifier la fonction de mesurage de cet item est, encore une fois, de faire appel à une fonction croissante. Il faut que

q₁ > q₂ => F(q₁) ≥ F(q₂),

où q₁, q₂ désignent des quantités de capacité et F désigne la fonction qui détermine les réponses correspondantes. On est obligé d’utiliser le signe “≥” parce que le nombre de réponses possibles est inférieur au nombre de quantités possibles. La fonction est croissante, mais pas strictement.

La courbe représentative de la fonction est un “escalier” à deux paliers, séparés par un seuil dont on ignore la valeur. Le graphique ci-dessous montre à quoi cela ressemble (pour une généralisation à k>2 réponses possibles, voir l’exercice 33a).

Ainsi, les réponses à l’item désignent non pas des quantités de capacité, mais des intervalles de quantités de capacité — les réponses 0 et 1 désignent respectivement les intervalles [0, A[ et [A, max]. C’est pourquoi le codage numérique des réponses en 0/1 peut faire illusion : ces nombres ne sont pas des quantités mais des nombres ordinaux. L’addition, la soustraction, la multiplication et la division ne sont pas définies sur ces nombres.

La pratique courante consiste à compter le nombre de réponses correctes, mais ce comptage n’est pas une mesure de la capacité, c’est le comptage du nombre de réponses correctes (prises comme unité de compte). La question de savoir comment ce comptage pourrait mesurer une grandeur psychologique reste entière.

3. Activités proposées autour de cet article

3.1. Tracez une fonction de mesurage de la douleur telle qu’une augmentation donnée quand la douleur est petite “se voit plus” sur l’échelle de douleur que lorsque la douleur est déjà forte.

3.2. Considérez un thermomètre domestique. La valeur 0° indique-t-elle l’absence de température ? La température mesurée dans une pièce passe de 5 à 10° : a-t-elle doublé ? Tracez la fonction de mesurage invoquée pour interpréter les observations.

3.3. Considérez un pèse-bébé (une balance qui est graduée en grammes). La valeur 0 g indique-t-elle l’absence de masse sur la balance ? La masse mesurée sur la balance passe de 5 à 10 g lorsqu’on ajoute un puis deux objets : a-t-elle doublé ? Tracez la fonction de mesurage invoquée pour interpréter les observations.

3.4. Voir 33a et 36a.

3a. Mesurer avec des réponses à des tests : définition

10 réponses

Définition. Si des observations (y compris les réponses à un certain nombre d’items de test) mesurent une certaine quantité d’une certaine grandeur, alors la variation des réponses dépend de la variation de cette quantité de grandeur, de telle manière qu’il soit possible de déduire d’une variation observée que la quantité de grandeur a augmenté ou diminué.

Remarque 1. Si on admet que la variabilité des observations dépend d’autres “facteurs” et si on ignore de quelle manière ces “facteurs” déterminent la variabilité des observations, alors on ne peut déduire de la variabilité observée ni une augmentation ni une diminution de la quantité de grandeur, parce qu’on ne peut exclure que les variations résultent de variations “parasites” — dont l’existence est révélée par des variations observées quand la quantité de grandeur n’a pas varié.

Remarque 2. La mise au point d’instruments de mesure consiste pour une part à réduire dans des limites connues l’effet des “facteurs parasites” sur les indicateurs qu’on utilise pour déduire les variations de la quantité de grandeur qu’on veut mesurer (voir les propos de Duhem, 1906/2007 et de Trendler, 2009).

Remarque 3. Ce travail de mise au point instrumentale nécessite qu’on sache manipuler la quantité de grandeur de manière expérimentale. Par exemple, pour étudier les variations “parasites” des observations, il faut pouvoir s’assurer que la quantité de grandeur ne varie pas (ou varie de manière négligeable) pendant qu’on observe les réponses en différents moments. Pour étudier la sensibilité du dispositif de réponse aux variations de la quantité de grandeur, il faut pouvoir augmenter ou diminuer de manière de plus en plus fine la quantité qu’on veut mesurer. Dans le domaine psychotechnique : comment manipuler la quantité d’intelligence ou la quantité d’anxiété par exemple, comme on manipule la quantité de température de l’eau en “augmentant ou en diminuant le gaz” sous la casserole ?

Remarque 4. En psychologie, on appelle les tests ou les questionnaires des instruments de mesure (cf. 6a). Cette habitude de langage est trompeuse parce que si on savait mesurer quelque chose avec des réponses à un test, ce serait parce que la personne qui répond servirait d’instrument de mesure (c’est elle qui produit les réponses, pas le test). En conséquence, les psychologues scientifiquement responsables de leurs pratiques devraient cesser d’appeler les tests et les questionnaires des instruments de mesure. S’ils ne le font pas, ils contribuent à une propagande qui colporte qu’on sait mesurer avec des tests et qui montre aux personnes averties que soit ils n’ont pas d’idée claire de ce qu’est mesurer, soit ils ne rejettent pas le caractère trompeur d’une telle propagande en toute connaissance de cause (voir aussi la position de Michell, 2009).

Remarque 5. La définition proposée ci-dessus ne suffit pas pour définir ce qu’est le mesurage métrique habituellement réalisé par les instruments de mesure. La définition convient aux indicateurs qualitatifs, qui permettent un mesurage ordinal (et non pas métrique) de la grandeur qu’on cherche à mesurer. Par exemple, si des variations qualitatives obéissent à la définition, de sorte qu’on puisse déduire que la quantité de grandeur a augmenté par exemple, on ne sait pas déterminer la quantité d’augmentation : on sait seulement qu’elle est strictement positive. Le mesurage ordinal permet de parler le langage du “plus ou moins”, pas du “combien en plus ou en moins”. Comme le langage ordinal est plus faible (moins contraignant) que le langage quantitatif, le mesurage métrique (fondé sur la définition d’une unité de mesure additive) implique le mesurage ordinal. Par conséquent, si on ne sait pas mesurer de manière ordinale, on ne sait pas mesurer de manière métrique.

Remarque 6. Pour autant qu’on sache décrire les manifestations de grandeurs comme l’intelligence ou l’anxiété dans un certain langage d’observation psychotechnique, ce langage n’est pas le langage du “plus ou moins”, mais celui des m-uplets. La plupart des variations qu’on sait envisager de façon empirique ne se laissent appréhender ni en “plus”, ni en “moins”. L’erreur scientifique des psychologues qui croient aux grandeurs comme l’intelligence ou l’anxiété est qu’ils n’admettent pas que les phénomènes qu’ils savent étudier sont d’abord des phénomènes qualitatifs (les réponses aux items des tests). Au lieu de respecter la forme de manifestation de ces phénomènes, ils les déguisent en nombres (ou scores), vendant ainsi la peau de l’ours avant de l’avoir tué : ils font comme si on pouvait parler scientifiquement en “plus ou moins” de l’intelligence ou de l’anxiété de n’importe qui, sans que cela pose le moindre problème d’authenticité (pour une autre interprétation voir, 26a). Mais la réalité, telle qu’elle se manifeste dans nos cadres descriptifs, nous apprend-elle que le langage du “plus ou moins” est approprié pour parler authentiquement des manifestations de l’intelligence ou de l’anxiété de n’importe qui ?

Conclusion. De deux choses l’une : soit l’intelligence (ou l’anxiété, ou n’importe quelle grandeur psychologique) se mesure avec les réponses à des tests, et alors un phénomène d’ordre devrait émerger des observations, et il faut réfléchir à ce à quoi cela pourrait ressembler (voir 11a ou 32a), soit on ne sait pas mesurer l’intelligence (ou l’anxiété, ou quelque grandeur psychologique que ce soit) avec les réponses à des tests.

Activités proposées autour de cet article (répondez en laissant un commentaire)

À propos de la remarque 1 : en utilisant un test, on utilise les réponses à ce test sans se rendre compte qu’on utilise les réponses au test. Le tour ainsi opéré empêche l’utilisateur de réaliser pleinement que les réponses sont inutilisables de manière logiquement valide comme des mesures. Sur quoi repose ce tour de magie ?

À propos de la remarque 2 : ce que dit Duhem (1906/2007) à propos d’un instrument de mesure est-il applicable, par exemple, à un questionnaire psychologique ? En quoi les propos de Trendler (2009) montrent-ils que le mesurage suppose une interprétation causale des observations ?

À propos de la remarque 5 : représenter la relation d’implication logique entre mesurage ordinal et mesurage métrique par un ensemble qui contient un sous-ensemble (et indiquer quoi représente quoi).

À propos de la remarque 6 : Paul a le profil de réponse (E, R, R, R, E) et Julie le profil (R, E, E, E, R) à un petit test d’intelligence, où E et R indiquent que les problèmes posés ont été échoués ou réussis, respectivement. En admettant que ces profils de réponse “reflètent”, comme on dit vaguement, l’intelligence de Paul et Julie, peut-on en déduire que l’un est plus intelligent que l’autre ?

2a. Commentaire de la tribune d’Allouche dans Le Monde

1 réponse

Jean-Paul Allouche a eu l’amabilité de me transmettre un pdf de sa récente tribune publiée dans Le Monde, “Connaître n’est pas mesurer”. Où l’on voit que la question du mesurage en psychologie s’inscrit dans une problématique sociétale plus large — voir aussi Gingras (2014), Gori (2014), Porter (1995) et Stengers (2013, chapitre 3).

On lit dans la tribune :

Destinés au début à contourner l’oxymore de la “quantification de la qualité”, [les indices] devinrent progressivement sacro-saints. Personne ne remet en cause (ou si peu) [leur] fabrication …, encore moins leur existence, ni même leur fondement épistémologique. … la mise en place et la “sanctification” de ces indices ne sont possibles que grâce à la complicité, volontaire ou pas, des individus à qui on les applique. Même lorsque ces derniers pourraient avoir le choix de contester le bien-fondé ou l’utilisation de ces critères quantitatifs, ou même lorsqu’ils en comprennent parfaitement le fonctionnement pervers, ils les acceptent, par passivité, de peur de déplaire aux “décideurs” ou parce qu’ils comptent bien tirer leur épingle du jeu… au détriment de leurs pairs.

En psychologie, on peut se demander si le cursus de formation méthodologique permet aux étudiants de contester le bien-fondé de l’utilisation des scores psychotechniques à diverses fins. Il est même possible que les responsables pédagogiques de Master voient dans le testage psychotechnique un moyen de booster l’employabilité des futurs psychologues qu’ils livrent sur le marché du travail. Il ne s’agit pas d’affirmer sans discernement que les scores psychotechniques doivent être systématiquement boycottés, mais je rejoins Allouche quant à leur caractère sacro-saint : pas question de se demander s’ils procèdent de lois scientifiques particulières, en particulier des lois d’ordre nécessaires au mesurage (voir la définition du mesurage), et donc pas moyen de s’apercevoir qu’ils ne mesurent rien, tout en assujettissant les personnes mesurées à des normes évaluatives qui fonctionnent comme un contexte naturel. Comme c’est le cas pour un contexte économique, un tel contexte est sujet à révision collective dès lors qu’il est plus nocif qu’utile, pourvu que le collectif possède les moyens intellectuels de cette révision. D’où la dimension éminemment politique de l’évaluation psychotechnique, puisqu’il s’agit alors de discuter ce qui est utile (bon, mais pour qui ?) et nocif.

Références

Allouche, J.-P. (2014, 29 janvier). Connaître n’est pas mesurer. Le Monde. Retrouvé à http://www.lemonde.fr/sciences/article/2014/01/27/connaitre-n-est-pas-mesurer_4355221_1650684.html
Gingras, Y. (2014). Les dérives de l’évaluation de la recherche : du bon usage de la bibliométrie. Paris : Raisons d’agir.
Porter, T. M. (1995). Trust in numbers: The pursuit of objectivity in science and public life. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Stengers, I. (2013). Une autre science est possible ! Manifeste pour un ralentissement des sciences. Paris : La Découverte.

1a. On ne sait mesurer aucune grandeur psychologique avec des réponses à des tests : faux, vrai, je ne sais pas

3 réponses

Je prétends qu’on ne sait mesurer aucune grandeur psychologique avec des réponses à des tests (psychotechniques). Si j’ai raison, l’idée reçue que les tests permettent de mesurer des grandeurs psychologiques (l’intelligence, l’anxiété etc.) est fausse. Comment se fait-il qu’une telle opinion soit majoritaire en psychologie dite scientifique (mais voir le sondage “Opinions psychotechniques”) ?

Si j’ai tort, qu’on me montre comment on fait pour mesurer au moins une grandeur psychologique avec les réponses d’au moins une personne à au moins un test. Si j’ai raison, et si l’opinion contraire est majoritaire (ce que je crois), comment se fait-il que la majorité se trompe ?

Voici une liste de confusions logiques et d’attitudes intellectuelles qui peuvent aider à comprendre ce qui se passe :

1. Confusions logiques ou sémantiques
1.1. Mesurer c’est noter (ou mettre un score, cf. l’article 10a).
1.2. Ce qui est valable en moyenne pour une liste de cas est valable pour tout cas de la liste.
1.3. Mon degré de croyance en un état E à l’instant t d’un certain objet est la probabilité de cet état E à l’instant t pour cet objet.
1.4. L’addition, c’est pareil que la conjonction (+ = et) ; voir aussi Jacquard (1991, chapitre “L’économie de marché, masque de la réalité”).

2. Mots d’ordre intellectuels
2.1. Il faut hiérarchiser (x est plus que, moins que, ou égal à y).
2.2. Comme on ne saura jamais si une théorie scientifique est vraie, seul compte ce qu’il faut croire pour pouvoir agir ou décider.
2.3. Dans le doute, il vaut mieux croire ce que dit l’autorité (scientifique ou académique).

Il me paraît nécessaire de régler la question pour des raisons plus profondes, qui touchent à ce que les psychologues scientifiques font de la science psychologique. La version officielle en psychologie scientifique, “on sait mesurer avec (des réponses à) des tests”, tient grâce à un paradigme qui force ses membres à accepter une fausse idée de ce qu’est l’esprit scientifique : chercher, c’est faire comme “on” nous dit de faire (par opposition à assumer sa liberté intellectuelle pour apporter une contribution aux connaissances actuelles). En soutenant que j’ai raison, je m’attaque à quelques piliers du paradigme, donc j’attaque le paradigme (voir Morin).

Le paradigme de la psychologie scientifique est une forme d’utilitarisme socio-technique, qui légitime la recherche en psychologie par le fait qu’elle est supposée servir à quelque chose dans le champ social. Je ne nie pas les problèmes sociaux, je conteste que la justification des solutions adoptées pour faire face à ces problèmes sociaux puisse reposer entièrement sur les connaissances scientifiques en psychologie. La justification d’une politique (d’action) face à un problème social relève par définition de la politique, c’est-à-dire de la pratique du pouvoir — et la justification d’une pratique de pouvoir relève de l’éthique, c’est-à-dire de ce qui est bien ou mal, préférable ou indésirable — tandis que la justification des théories scientifiques relève de la vérité, ce qui entraîne qu’un scientifique est essentiellement utile pour démolir des théories. Dans cette perspective politique, le paradigme contraint ses membres à (se) faire croire qu’ils savent des choses valorisées par “le pouvoir”, alors que la démarche scientifique, appliquée à ce que Gilles-Gaston Granger (1995) appelle le fait humain, consiste à élaborer notre ignorance, pour espérer en tirer quelque sagesse, comme George Canguilhem (1958) l’a bien analysé il y a plus d’un demi-siècle.

Activités proposées autour de cet article : répondre à et pour soi-même à la question formulée dans le titre, répondre aux deux questions “psychotechniques” du sondage, rédiger un commentaire.

Références

Canguilhem, G. (1958). Qu’est-ce que la psychologie ? Revue de Métaphysique et de Morale, 1, 12-25.
Granger, G.-G. (1995). La science et les sciences (2de éd.). Paris : Presses Universitaires de France.

Thérapies contemporaines (ex Épistémologie de la psychologie)

Carnet d'enseignement et de recherche de Stéphane Vautier, professeur à l'université Toulouse 2

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