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38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique

Pour raisonner logiquement, respectons les règles de la logique. Ce billet présente les règles logiques de la négation, de la conjonction (et), de la disjonction (ou) et de l’implication avec des diagrammes et des tables de vérité.

Une proposition quelconque sera notée par une lettre majuscule. Soit A une proposition. Il faut distinguer deux intentions lorsqu’on articule des propositions : l’intention affirmative (A) et l’intention référentielle (A est une proposition)1. Lorsqu’on dit « A », on affirme A (on se positionne en acceptant le contenu de A). Lorsqu’on dit « A est une proposition », on affirme que A est une proposition, on se réfère à A sans se positionner sur A. On exclut aussi l’intention qui consiste à faire semblant d’affirmer (d’où la possibilité que l’application du logicien à formuler les problèmes de manière logique le fasse passer pour un naïf et, peut-être, la difficulté de faire de la politique de manière logique).

1. La négation (non-A, notée ¬A)

Logique non-ASoit A : quelque chose est un a. ¬A se lit : quelque chose n’est pas un a. Remplaçons quelque chose par x (cf. la figure ci-dessus ; tout ce qui est un a est mis dans l’ensemble a) : A est vraie et ¬A est fausse parce que x est un a. Remplaçons quelque chose par y, A est fausse et ¬A est vraie parce que y n’est pas un a.

Les valeurs de vérité de ¬A en fonction des valeurs de vérité de A sont représentées dans la table de vérité ci-dessous.

Table non-ALa ligne 1 se lit : si A est fausse (si on rejette A) alors ¬A est vraie (on accepte ¬A). La ligne 2 se lit : si A est vraie alors ¬A est fausse.

Exercice 1 : Montrer que ¬(¬A) = A — que la colonne A est identique à la colonne ¬(¬A).

Table non(nonA)

2. La conjonction (A et B, notée A ∧ B)

Logique A et B

Soit B : quelque chose est un b. A ∧ B est vraie pour x, fausse pour w, y et z.

Table A et BLa table de vérité ci-dessus représente la même information : si A est fausse et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est fausse et B vraie alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et B fausse alors A ∧ B est fausse. Si A est vraie et si B vraie alors A ∧ B est vraie.

Exercice 2 : montrer que A ∧ (¬A) est fausse. (réponse : si A est vraie, ¬A est fausse ce qui correspond au cas w ; si A est fausse, ¬A est vraie ce qui correspond au cas y.)

3. La disjonction (A ou B, notée A ∨ B)

Logique A et BA ∨ B est fausse pour z, vraie pour w, x et y.

Table A ou B

Si A et B sont fausses alors A ∨ B est fausse, etc.

4. L’implication (A => B)

Logique A et B

A => B est fausse pour w, vraie pour x, y et z.

 Table A impl B

Si A et B sont fausses alors A => B est vraie (ce qui n’est pas intuitif), etc.

Exercice 3 (contraposée) : montrer que (A => B) = (¬B => ¬A) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬B => ¬A). (réponse : on déduit les valeurs de ¬B et de ¬A ligne par ligne en fonction des valeurs de A et de B ; ensuite on applique la définition de (A => B) à (¬B => ¬A) ligne par ligne ; enfin on constate que les colonnes sont identiques ; voir aussi Notturno, 2000))

Table ex3

Vocabulaire : A est une condition suffisante de B ; B est une condition nécessaire de A.

Exercice 4 : montrer que (A => B) = (¬A ∨ B) — que la colonne (A => B) est identique à la colonne (¬A ∨ B).

Table ex4

Exercice 5 (à partir de la tâche de sélection de Wason, 1968) : si une carte porte une voyelle d’un côté, alors elle porte un nombre impair de l’autre côté. On présente les quatre cartes E C 5 4. Quelles cartes faut-il retourner pour tester la règle ?  (réponse : le falsificateur de la règle est une carte « voyelle et pair » ; il faut donc retourner les cartes E et 4.)

Référence

Wason, P. C. (1968). Reasoning about a rule. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 20, 273-281.

Cite this article as: Stéphane Vautier, "38a. Rudiments de logique : non, et, ou, implique", in Épistémologie de la psychologie, 22/03/2016, https://epistemo.hypotheses.org/3470.

  1. Dans le premier cas, on utilise le langage comme un langage-objet tandis que dans le second, on utilise le langage comme un méta-langage, le langage qui permet de parler du langage-objet. []

14a. Explication, nécessité, condition suffisante vs. nécessaire

Je défends l’idée que l’explication scientifique d’un phénomène revient à invoquer une nécessité objective. Lorsqu’on recourt à la notion de loi probabiliste (voir 25a, 4), il faut admettre que l’état momentané d’une entité soit intrinsèquement indéterminé, ce qui n’est pas la même chose qu’admettre qu’il est déterminé par des causes… qu’on ignore. Mais j’attends la contradiction par des personnes qui seraient plus informées que moi sur l’explication probabiliste dans certains domaines de la recherche scientifique. En attendant, l’introduction des probabilités dans la méthodologie scientifique de l’explication est pour moi une source de confusion (voir par exemple 37a).

Soit un phénomène décrit par l’énoncé p (ce qui veut dire qu’on peut donner une valeur de vérité à cet énoncé). La notation a → p signifie que a cause p, où a est un énoncé décrivant un autre phénomène. La proposition « a → p » peut aussi se lire « a provoque, engendre, déclenche p« . Considérons la proposition b → ¬pp se lit « non-p« ) : on a maintenant la situation où un phénomène décrit par b cause ¬p, c’est-à-dire bloque, empêche p. Si a → p et si on sait provoquer a, on sait provoquer p. Si b → ¬p et si on sait provoquer b, on sait prévenir p.

Remarque 1. Dans l’expression « a → p » par exemple, le signe « → » ne dénote pas une implication logique, mais une relation causale. Une implication logique, qu’on écrit avec « => », a une structure d’inclusion qu’on peut représenter par le diagramme ci-dessous :

Inclusion

(x est un B) => (x est un A) car B est inclus dans A (ou encore, tous les B sont des A). Contraposée : (y n’est pas un A) => (y n’est pas un B). Il y a une analogie entre relation causale et implication logique, mais la première réfère à des réalités métaphysiques (ou encore ontologiques et chronologiques) tandis que la seconde est formelle, c’est-à-dire que ce à quoi elle réfère n’a pas pour obligation de coïncider avec ces réalités ontologiques.

On a donc (a → p) => (a => p) où, dans la proposition a => p, a est une condition suffisante de p et p une condition nécessaire de a, et (b → ¬p) => (b => ¬p) => (p => ¬b) où, dans la proposition (p => ¬b), p est une condition suffisante de ¬b et ¬b une condition nécessaire de p.

Remarque 2. Une explication causale consiste à invoquer une nécessité et on peut la tester dès qu’on sait identifier que la condition suffisante est remplie ou que la condition nécessaire n’est pas remplie (voir Popper, 1992). Mais chercher une explication seulement logique du phénomène me semble insuffisant (on peut seulement exiger qu’une explication soit logique, condition nécessaire à une explication scientifique, cf. 39a). Par exemple, le mesurage est une explication causale du phénomène observé (par exemple, l’aiguille d’une balance va vers la droite parce qu’elle mesure la masse et que la masse a augmenté) et sa forme mathématique est une fonction — p = F(q), où F est la fonction et q est une quantité théorique ou encore inventée ou encore métaphysique.

Remarque 3. Sayer (1992) critique le falsificationisme poppérien en affirmant que Popper rejetait l’idée de nécessité naturelle (p. 226). A mon avis, Sayer se trompe en prêtant un tel dogmatisme métaphysique — tout ce qui arrive est contingent — à Popper. Effectivement, si on considère qu’il n’existe pas de nécessité naturelle, on voit mal comment il serait possible d’expliquer un phénomène sur une base falsificationniste (c’est-à-dire que même si on ne saura jamais si une explication est vraie, on peut chercher à la tester ; la logique formelle est utile si on peut l’articuler à la logique causale et cela demande beaucoup de soin). La question est factuelle : existe-t-il un passage dans les textes de Popper où celui-ci exprime son refus de croire en l’existence de nécessités naturelles ? Je n’en connais aucun.

Référence

Sayer, A. (1992). Method in social science: A realist approach (2d ed.). London: Routledge.