Cet article demande patience et ténacité parce que certaines notions techniques, simples mais abstraites, sont mobilisées pour une conceptualisation minutieuse. Le cas échéant, le lecteur ne doit pas hésiter à consulter Internet sur certaines notions spécifiques (application, composition d’applications, produit cartésien, fonction croissante…). La notion fondamentale de m-uplet est détaillée dans 20a.

La différence conceptuelle entre le scorage psychotechnique et ce qui serait un authentique mesurage psychotechnique peut être mise en évidence en décrivant l’un et l’autre comme la composition de deux applications, A ○ X vs. F ○ Q. Pour montrer que scorage et mesurage ne sont pas synonymes, il suffit de montrer que les deux applications composées ne sont pas les mêmes applications.

• Déterminer le score psychotechnique d’une personne à un moment donné consiste à déterminer (via X) puis à scorer (via A) une description psychotechnique de cette personne à ce moment.
• Mesurer nécessite de supposer que la description psychotechnique résulte d’un processus de mesurage (formalisé par F) d’une certaine quantité déterminée (via Q). Si cette supposition est fausse, la description ne résulte pas d’un mesurage. Le scorage de cette description se présente alors comme une forme de pseudo-mesurage où le codage numérique se substitue au mesurage.

1. Description psychotechnique X

La description psychotechnique est une application X : Ω → D. Son ensemble de départ, Ω, est une population statistique. Une unité d’observation de Ω consiste le plus couramment en une personne e à un certain moment t, la notion de “moment” correspondant à l’intervalle de temps nécessaire à la passation du test ; une unité d’observation quelconque est notée ω = (e, t).

L’ensemble d’arrivée de X est noté D (pour description). Les éléments de D sont des m-uplets, où m indique le nombre d’items du test¹. Le caractère gras de la notation D indique que la description est multivariée — elle a la forme d’un m-uplet où m > 1 — (par opposition à univariée — un score est un 1-uplet). Il est facultatif mais je l’utilise ici pour aider à distinguer entre multi- et univarié. La description psychotechnique d’une unité d’observation ω est la donnée de m réponses au test ; cette donnée se note X(ω) = x (pour les notations, cf. 42a).

L’application X est l’application conjointe

X₁X₂…X_m : Ω → D₁×D₂×…×D_m = D

(D est un produit cartésien), où tout X_i, i = 1, 2, …, m, associe à toute unité d’observation une et une seule valeur dans l’échelle des valeurs descriptives de l’item i.

2. Règle de scorage psychotechnique A

Une règle de scorage psychotechnique est une application notée A : D → S (A pour agrégation). Son ensemble de départ est l’ensemble d’arrivée de X, c’est-à-dire l’ensemble des m-uplets qui peuvent être envisagés étant donné le test. L’ensemble d’arrivée de A est noté S pour scores. Le score d’un m-uplet quelconque de D est déterminé par des “règles de transformation”, ou encore d’agrégation numérique (d’où la notation A). Par exemple, le score de (0, 1, 1) est 2 points si on utilise la règle usuelle de l’addition des nombres qui se trouvent dans le m-uplet (on parle aussi de score composite, cf. 17a).

3. Scorage psychotechnique A ○ X

Tester une personne à un certain moment avec un certain test consiste à déterminer ses réponses aux m items du test — X(ω) — puis à attribuer un score à cette description — A[X(ω)]. Cette composition d’applications se note A ○ X. Le score de l’unité d’observation ω est

(A ○ X)(ω) = A[X(ω)] aussi noté X(ω).

4. Hypothèse quantitative Q

Le mesurage repose sur l’hypothèse fondamentale qu’une quantité existe (on mesure une quantité ou on ne mesure pas). Cette hypothèse peut se formuler comme l’hypothèse de l’existence d”une application Q : Ω → [0, max], qui à toute unité d’observation de Ω, associe une et une seule quantité q définie dans le segment [0, max], où “max” désigne la quantité maximale possible.

Remarque. La notion statistique d’unité d’observation appelle une remarque particulière dans ce contexte. Supposer que la personne possède une quantité psychologique instantanée est une chose, supposer que cette quantité ne varie pas dans l’intervalle de temps nécessaire à la passation du test en est une autre. La convention d’invariance de la quantité à mesurer pendant la passation du test est nécessaire pour tester la mesurabilité de la quantité visée par le test (voir la convention C).

5. Fonction de mesurage F

La fonction de mesurage F : [0, max] → D est définie sur le segment [0, max] et prend ses valeurs dans l’ensemble D. Soit un test de m items. Pour tout item i du test, on suppose qu’il existe une fonction croissante F_i : [0, max] → D_i, où D_i est l’échelle des valeurs descriptives de l’item i (voir l’article Mesurer avec les réponses à un item). La fonction F est la fonction conjointe

F₁F₂…F_m : [0, max] → D₁×D₂×…×D_m = D.

La mesure de la quantité q par F est un m-uplet de valeurs, qu’on note y. F(q) = y.

Une propriété critique des valeurs de la fonction F est qu’elles sont simplement ordonnées parce que toute fonction F_i est croissante. Ce point est détaillé dans la section 6. Cette propriété d’ordre simple, ou encore de comparabilité, rend falsifiable la proposition selon laquelle deux descriptions particulières X(ω₁) et X(ω₂) résultent du mesurage des quantités Q(ω₁) et Q(ω₂). Il suffit que X(ω₁) et X(ω₂) soient incomparables, et on note X(ω₁) <> X(ω₂), pour que ces descriptions ne soient pas des mesures ordinales.

6. Mesurage psychotechnique F ○ Q

Si un test psychologique permet de mesurer la quantité psychologique d’une unité d’observation ω, c’est que cette quantité, Q(ω), détermine la description psychotechnique F[Q(ω)]. Le mesurage psychotechnique est donc la composition F ○ Q.

Soient les unités d’observation ω₁ et ω₂. Leurs mesures sont respectivement (F ○ Q)(ω₁) = F[Q(ω₁)] = Y(ω₁) et (F ○ Q)(ω₂) = F[Q(ω₂)] = Y(ω₂), où la lettre Y désigne l’application F ○ Q.

Ordre produit direct (définition). On dit que F[Q(ω₁)] ≥ F[Q(ω₂)] si et seulement si quel que soit i, F_i[Q(ω₁)] ≥ F_i[Q(ω₂)]. Cette définition s’applique aussi à X.

Théorème. F est croissante.

Démonstration

Soient ω₁ et ω₂ tels que Q(ω₁) ≠ Q(ω₂) :

• Si Q(ω₁) > Q(ω₂), alors quel que soit i = 1, 2, …, m, F_i[Q(ω₁)] ≥ F_i[Q(ω₂)] donc F[Q(ω₁)] ≥ F[Q(ω₂)].
• Si Q(ω₁) < Q(ω₂) on se ramène au cas précédent en intervertissant les indices de ω.

Comparabilité (ordre simple). La croissance de F implique que deux mesures y₁ et y₂ sont comparables.

7. Scorage vs. mesurage

Scorage et mesurage sont des opérations distinctes, puisque X = A ○ X n’est pas la même opération que Y = F ○ Q. Autrement dit, disposer d’un score composite X(ω) n’implique pas qu’il existe une fonction croissante F telle que X = F ○ Q.

Soit un ensemble Ω_n de n unités d’observation. S’il existe une fonction F telle que l’image de Ω_n par X soit égale à l’image de Ω_n par F ○ Q, c’est-à-dire X(Ω_n) = (F ○ Q)(Ω_n), alors les descriptions psychotechniques X(Ω_n) sont des mesures ordinales des quantités Q(Ω_n). Par conséquent, ces descriptions sont simplement ordonnées, c’est-à-dire que les descriptions de deux unités d’observation distinctes sont égales ou strictement ordonnées. Le score exprime alors cette propriété ordinale de comparabilité.

Si une telle fonction F n’existe pas, on ne sait pas mesurer les quantités Q(Ω_n). Il est possible que cette ignorance découle de l’inexistence des quantités (l’hypothèse Q est fausse), ou de notre incapacité à déterminer les conditions expérimentales qui permettent de supposer l’existence de F sans être contredit par les observations.

S’il existe deux unités d’observations ω₁ et ω₂ dont les descriptions sont incomparables, c’est-à-dire qu’il existe i et j tels que X_i(ω₁) > X_i(ω₂) et X_j(ω₁) < X_j(ω₂), alors F n’existe pas et donc on ne peut pas affirmer que les descriptions résultent d’un mesurage par F des quantités supposées.

8. Exercice non corrigé

1. Un 3-uplet est par exemple (0, 1, 1), où 0 et 1 indiquent respectivement une réponse incorrecte et une réponse correcte. [↩]