S. S. Stevens publie en 1946 son célèbre article “On the theory of scales of measurement”, que Tafreshi, Slaney et Neufeld (2016, p. 6) qualifient de contribution majeure du 20e siècle dans le domaine de la mesure en psychologie, et qui présente la fameuse catégorisation d’échelles numériques dites “de mesure”, à savoir les échelles “nominales”, “ordinales”, “d’intervalle” et “de ratio”, catégorisation qui est enseignée dans tout cours de psychologie quantitative. Chaque type d’échelle de mesure possède des règles de légitimité concernant les calculs qu’on peut appliquer aux nombres dont elles sont formées. J’en donne ici un commentaire critique du point de vue où mesurer, c’est utiliser l’hypothèse qu’il existe une fonction croissante, définie dans le segment [0, max] où “max” désigne la quantité la plus grande possible de la grandeur qu’on veut mesurer, à valeurs dans l’ensemble des observables qui sont utilisés comme des mesures de la grandeur (cf. 3a).

1. Aperçu de l’article

L’article (quatre pages) se compose d’une introduction, d’une section portant sur l’idée de classification d’échelles de mesure, de quatre sections respectivement consacrées à chaque type d’échelle et d’une conclusion.

L’introduction. Partant des travaux d’un comité de la British Association for the Advancement of Science, qui fût dédié à l’examen de la possibilité de mesurer les sensations, et retenant de son rapport final que la signification (meaning) du verbe “mesurer” reste discutable, l’introduction propose de “reconnaître que le mesurage [measurement] existe sous des formes variées et que les échelles de mesure [scales of measurement] tombent dans des classes bien définies” (p. 677) — avec des conséquences concernant la “légitimité” de certaines analyses statistiques.

La classification des échelles de mesure. Elle est appuyée sur une définition dite “au sens large” du mesurage, qui consiste en “l’attribution de nombres à des objets ou événements selon des règles” (p. 677). Ces règles reposent sur la notion-clé d’isomorphisme “entre ce que nous pouvons faire avec les aspects des objets et les propriétés des séries numériques” (p. 677).¹

L’échelle nominale. Il faut considérer une application définie dans un ensemble d’objets (ou d’événements au sens de la théorie des probabilités) et à valeurs dans un ensemble de modalités descriptives (les aspects des objets ou des événements). Une échelle nominale résulte du codage numérique de ces modalités. Le “mesurage nominal” consiste à identifier les modalités descriptives de la variable/application par un nombre. L’isomorphisme entre l’ensemble des modalités et l’ensemble des nombres consiste en une bijection, i.e., une relation bi-univoque qui attribue à toute modalité un nombre unique. Un exemple d’échelle nominale est l’ensemble {0, 1} comme ensemble d’arrivée de la relation dont le graphe est {(femelle, 0), (mâle, 1)}.

L’échelle ordinale. Il s’agit d’une échelle nominale ordonnée. L’isomorphisme entre l’ensemble des modalités et l’ensemble des nombres codant ces modalités est enrichi de la notion de conservation de l’ordre des modalités ; il suffit que les nombres servant à identifier les modalités soient ordonnés conformément à l’ordre des modalités. Un exemple d’échelle ordinale est l’ensemble (1, 2, 3, 4) comme ensemble d’arrivée de la relation dont le graphe est {(pas du tout d’accord, 1), (pas d’accord, 2), (d’accord, 3), (tout à fait d’accord, 4)} — ce qu’on appelle une échelle de Likert.

L’échelle d’intervalle. Soient x₁, x₂, x₃ et x₄ quatre valeurs distinctes d’une échelle d’intervalle. On s’intéresse au rapport des différences x₂ − x₁ et x₄ − x₃, c’est-à-dire à (x₂ − x₁)/(x₄ − x₃). Il se trouve que le rapport des différences (ax₂ + b) − (ax₁ + b) et (ax₄ + b) − (ax₃ + b), avec a > 0, est égal à (x₂ − x₁)/(x₄ − x₃) : les b s’annulent par différence et les a par division. Il n’est pas dit quelles sont les modalités dont on puisse ainsi considérer les différences, lesquelles supposent l’existence d’une fonction de mesurage affine reliant certains observables à une certaine grandeur (voir par exemple 36a). Lorsque Stevens utilise l’exemple du mesurage de la température par la longueur de la colonne de mercure dans un thermomètre, il ne pose pas le problème de la mesurabilité d’une quantité de température par une quantité de longueur, qui est un problème théorético-empirique. Il me semble que sa démarche est focalisée sur l’étiquetage numérique de modalités descriptives et les propriétés numériques autorisées pour ces étiquettes.

L’échelle de ratio. Soient x₁, x₂ deux valeurs distinctes d’une échelle de ratio. On s’intéresse au rapport x₂/x₁. Le rapport ax₂/ax₁, avec a > 0, est égal à x₂/x₁. Il n’est pas dit comment on peut établir, en général, que x₁ et x₂ puissent être mis en rapport ; c’est encore un problème théorético-empirique qui consiste à supposer que les valeurs numériques sont les images d’une fonction de mesurage linéaire (cf. 36a).

La conclusion. Stevens conclut en estimant avoir contribué, dans un esprit libéral et utilitaire, à une définition du mesurage qui réduit le problème du mesurage à un choix d’échelle de mesure guidé par les règles qu’on se donne pour représenter les objets ou événements à l’aide de nombres.

2. Commentaires

Remarque 1. Parce qu’elle rend le codage numérique nécessaire, une telle définition du mesurage est soit inutilement restrictive soit contradictoire. Restrictive, si on exclut que le mesurage puisse admettre une description non-numérique (c’est-à-dire expressément qualitative) des “objets ou événements”. Soient les objets identifiés par a, b, c ; {a, b, c} n’est pas une échelle nominale pour identifier ces objets parce que ni a ni b ni c ne sont des nombres. De même l’ordre alphabétique, l’ordre “échec < réussite”, ne peuvent mesurer ordinalement des objets. Contradictoire dès qu’on rejette cette restriction parce que la définition énonce qu’il s’agit d’attribuer des nombres à des “objets ou événements” — peu importe que ces nombres soient des numéros, des ordinaux ou des nombres réels par exemple. Cette contradiction sur la forme signale une confusion sur le fond : avec la définition de Stevens, le complément d’objet direct du verbe mesurer n’est plus une quantité de grandeur mais la catégorie vague d’aspect d’un objet ou d’un événement². Par exemple, d’après Stevens, il faudrait dire qu’on mesure la réponse à un item de questionnaire, ce qui n’a rien à voir avec l’hypothèse que la réponse à cet item mesure une quantité psychologique (comme par exemple une quantité de capacité intellectuelle). Il est inutile et ambigu d’utiliser des nombres pour faire des descriptions (et non pas des mesures) nominales ou ordinales : si on utilisait des notations claires (cf. 42a), on serait de fait dans l’impossibilité de calculer des scores psychotechniques, une bonne chose pour la lucidité scientifique des utilisateurs de scores (sur le scorage, voir 11a).

Remarque 2. Du point de vue épistémologique, cette définition pose la question de savoir si la mesurabilité d’une grandeur via une technique descriptive donnée est un problème de convention (les règles d’attribution de nombres seraient une affaire de consensus, comme la notation scolaire) ou bien un problème empirique (existe-t-il des faits d’observation qui frapperaient d’incohérence l’affirmation qu’on sache mesurer telle grandeur à l’aide de telle ou telle technique de description des “objets ou événements” ?). Négliger cette différence revient à confondre l’évaluation et le mesurage et à oublier que tout n’est pas mesurable.

Remarque 3. Dans la mesure où les critères de jugement pour conférer aux nombres utilisés le statut de mesures d’intervalle ou de ratio ne sont pas envisagés (seules les conséquences de ces choix en termes de transformation fonctionnelle sont envisagés), ce qui constitue à proprement parler le problème du mesurage quantitatif (par opposition au mesurage ordinal d’une quantité), on est libre de penser que Stevens ne s’opposait pas à ce qu’on convienne de ce que des nombres soient des mesures d’intervalle. La conséquence d’un tel conventionnalisme est qu’il détruit la différence épistémologique entre une mesure (possible seulement si on admet l’existence d’une grandeur à mesurer d’une part, et d’une fonction de mesurage qui formalise un principe causal de mesurage d’autre part) et une évaluation (possible dès qu’on se donne une règle de scorage pour fabriquer des descriptions numériques).

Remarque 4. Stevens corrobore ce conventionnalisme scientifiquement parce qu’expérimentalement ou empiriquement abusif, lorsqu’il écrit “L’intelligence, par exemple, est utilement évaluée (“assessed” et non pas “measured”) sur des échelles ordinales qui tentent d’approcher des échelles d’intervalle et il n’est pas nécessaire de définir ce que zéro intelligence signifierait” (p. 679). S’il avait appliqué sa propre approche aux scores d’intelligence, Stevens aurait dû reconnaître qu’une échelle de scores d’intelligence n’est pas une échelle nominale des aspects des objets/réponses sur lesquels elle se fonde, puisque ces aspects sont décrits dans un ensemble de m-uplets (cf. 20a), que les scores ne permettent pas d’identifier de manière isomporphe (un même score “mesure”, au sens de Stevens ou, plus proprement, décrit, différentes façons de répondre à un test d’intelligence). Donc une échelle de scores d’intelligence n’est pas une échelle ordinale parce qu’une échelle ordinale est (condition nécessaire) aussi une échelle nominale.

Les enjeux utilitaires (anthropocentrés) effacent le problème théorético-empirique de mesurage (parce que si l’intelligence était mesurable, ce serait une grandeur mesurable donc une grandeur et alors, la question de la plus petite quantité d’intelligence possible serait une question théoriquement non-négligeable) au profit d’un feu vert pour une convention à usage évaluatif qui permet, grâce à cet “élargissement” du sens du verbe “mesurer”, d’emprunter le discours de la mesure, et donc de profiter de sa crédibilité scientifique, quitte à obscurcir ou tout au moins brouiller la notion de mesurage (measurement).

Références

Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of measurement. Science, 103, 677-680.
Tafreshi, D., Slaney, K. L., & Neufeld, S. D. (2016). Quantification in psychology: Analysis of an unreflective practice. Journal of Theoretical and Philosophical Psychology, 36, 233-249.

1. Un isomorphisme implique l’existence d’une relation de correspondance terme à terme, puisque les deux ensembles ont la même “forme”). Conséquence : peut-on, dans cette approche, mesurer une quantité de grandeur comme par exemple une quantité de distance ? Réponse : non parce qu’une quantité de grandeur (de distance) n’a pas d’aspect relevant du “faire” expérimental, au sens positiviste et empiriste du terme “expérimental”, entre les quantités à mesurer et les nombres supposés les mesurer — la distance est une “pure idée” dont on peut croire ou pas qu’elle corresponde à quelque chose de réel. [↩]
2. Je remercie Corentin Gonthier qui m’a suggéré ces précisions. [↩]